面积计算（十九）

接下来我们来看一个经典的例子：给定任意四边形，求作一条直线，把这个四边形分成面积相等的两块。

如果是平行四边形，直接连对角线即可；如果是梯形，取平行的对边各自的中点，连线就是要求的线段。

但是任意的四边形呢？

顺着梯形的作法，如果可以取对边中点的连线，由于不平行，那么任意一组效果应该都一样，但是别说任意的四边形了，就是梯形你选不平行的那组对边的中点的连线就发现不对了。

当然，如果不死心的话可以考虑修正。毕竟我们还是得到了两块面积相等的三角形，但是其余的两块怎么办？

既然这条路看起来被堵死了，我们就先考虑一个弱化的问题：怎么把这个四边形分成面积相等的两个部分？

找到了又怎么样？要求是一条直线啊！你如果找到一条折线还是不满足要求啊？

咱们这不是还有等积变换呢嘛？！然后再用等积变换，把分割线变成一条直线不就结了？

这是数学中非常重要的一种技巧：先解决简单情形，然后再逐渐调整。

现在既然是等分面积，那么中点一定是少不了的。我们连接四边形的一条对角线AC，然后取AC的中点P，连接BP和DP，不难发现四边形就被分成了面积相等的两部分——虽然看起来不那么规则，但是确实是面积相等。

接下来就是找一条直线来代替这条折线，这条直线怎么找？

必然是平行。关键这条平行线加在哪里？

一定离这条折线不远——你想想是不是这么个道理？现在突兀的地方在哪里？在折线DPB上。所以现在的问题就变成了：找一条线，平行于基于本图形的某条线段，然后把DPB给拉直。

问题是把DPB拉直以后呢？我们把DPB拉直为了什么？结合等积变换的观点，我们想是不是应该在DC上找个点Q，然后BQ的分割效果和DPB是一样的？

问题来了，为什么不是在其余三边呢？

若Q在AD上，△ABQ的面积比四边形ADPB显然要小，怎么可能一半一半？至于在AB上的话都构不成三角形，而在BC上的话一时间找不到明确反对的理由，只能说感觉稍微远了点，考虑作为一个备选。

接下来我们该怎么考虑？

我们不妨设Q点已经找到了，恰好就在CD上来看看——这是以后学平面几何经常用的办法——把结论当做条件来用，看看能推出哪些有用的结果方便衔接。

此时BQ已经把四边形分成面积相等的两块了，也就是说BQDA和BPDA面积相同，不难看出，△ADB是公共部分，这意味着剩下的△DPB和△QDB面积相等，而这两个三角形是同底的，因此必须等高，即QP∥BD。

综上所述，我们得到了整个过程：首先连接对角线AC，然后取中点P，过P作平行线交CD于Q，连接BQ就是我们要的直线。

就看上面这句话按图索骥，没有几个孩子不明白的，但是整个的分析过程才是最需要掌握的地方。学，就要学这个分析过程。答案，那是最没有用的玩意儿~