三角形（十八）

我们来看几个难一点的截长补短。

如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，M为BC重点，MF∥AD于AC于F。求证：2AF=AC-AB。

仿照之前的例子，我们还是先把式子进行一下改写，得到AC-AF=AB+AF，这样写的好处是什么呢？

因为AC-AF=FC，这是一条现成的线段，并且把AF前面的系数2去掉了，看着就比较神清气爽了。接下来就是处理AB+AF了，我们可以延长BA，也可以延长AB，应该往哪个方向延长呢？

假设我们延长AB至E，使得BE=AF，那么这时候我们的目标就是证明AE=FC。这时候，我们看起来要证明△AED全等于△FCM，然后就没有然后了——AD显然比FM长，所以这两个三角形不可能全等。

此时有两种可能，一是找错了全等三角形，二是这条路很可能是错的，该怎么选择？

如果坚持是找错了全等三角形，那么我们尝试换一组，然而其他看起来的靠谱的三角形似乎没了，所以这时候我们想，会不会这条路错了？

我们延长BA到E，使得AE=AF，看起来就很舒服——因为△AEF是等腰三角形，所以∠E=∠AFE，然后由于MF∥AD，所以∠BAD=∠AEF。。。等等，有没有发现什么不对的地方？

没错，E，F，M三点是否共线？！

从图上看，三点一定共线，但是我们直接连EF并不能直接得到这个结论！

在竞赛中，三点共线或者三线共点是常规题，然而在升学中，这个就。。。太难了。不过可以肯定的是，这个方向一定是对的，只是我们要想办法去规避这三点共线。

既然三点共线是难点，我们就先让三点共线，直接延长MF交BA的延长线于E，这样可以么？这样操作之后，AD∥FM就可以很好地用起来了，∠BAD=∠E，而∠AFE=∠MFC=∠DAC，可以推出∠E=∠AFE，于是AE=AF，把之前的难点巧妙地绕了过去。

让我们擦擦脑门上的汗，继续前进吧！

下一个问题是：哪来的全等三角形包含BE和CF呢？△BEM和△CFM全等？开什么玩笑，这绝对不可能啊！又一次陷入了僵局。

我们之所以不否定这条路，是因为想不到第三条路么？非也非也，而是在探索过程中出现了等腰三角形这样的强条件，这往往是一个积极的信号，表明你很大概率走在一条正确的道路上。所以我们现在要做的就是破局。

再仔细地读题，角平分线和平行都用过了，中点！中点还没有用！

很自然地把FM延长一倍到G点，这样就出来一对全等三角形：△BGM和△CFM。于是FC=BG，下一个问题自然是：BG=BE么？

当然等于，因为全等的关系，∠G=∠MFC=∠E，所以BE=BG，命题成立。

这道题目的截长补短和我们之前的有些不一样——因为直接补短之后出现的问题很难解决，所以我们套了一圈，利用其它的办法来达到补短后的效果。像这种题目，难就难在需要有截长补短的思想做指导，但是又不拘泥于这个方法。至于后面的倍长FM属于常规操作，并不是特别的难想。

都是辅助线，但是难度可是大不一样哦~~