万能解题模型(二) 整体代换,条件求值

模型1 “析0法”

模型解读

已知一个代数式的值为0,将所求代数式分离出含有0值的代数式即可。

1.已知x2-x-1=0,求-x3+2x2+2 020的值.
解:因为x2-x-1=0,
所以原式=-(x3-x2-x)+(x2-x-1)+2 021
=-x×0+0+2021
=2 021.

模型2 “数字替换法”

模型解读

将所求式中的代数式用数(或较简单的代数式)代换,也可以用某个代数式代换所求式中的数,代换的原则是方便求值,方便化简。

2.若a-3b=-1,则代数式a2-3ab+3b的值为 1 .
3.若a+b-2=0,则代数式a2-b2+4b的值等于 4 .
4.已知m2=n+2,n2=m+2(m≠n),求m3-2mn+n3的值.
解:∵m2=n+2,n2=m+2,
∴m2-n2=n-m.∴(m+n)(m-n)=-(m-n).
∵m≠n,∴m+n=-1.
∴原式=m(n+2)-2mn+n(m+2)
=mn+2m-2mn+mn+2n
=2(m+n)
=-2.
5.已知实数x满足x2-2x-1=0,求代数式2x3-7x2+4x-2020的值.
解:∵x2-2x-1=0,
∴x2-2x=1.
∴原式=2x3-4x2-3x2+4x-2020
=2x(x2-2x)-3x2+4x-2020
=6x-3x2-2 020
=-3(x2-2x)-2020
=-3-2 020
=-2 023.

模型解读

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