圆锥曲线专题解析6：圆锥曲线定点探究（附参考答案）
圆锥曲线定点探究
Ø方法导读
解析几何中的定点问题,是在若干个变化的几何对象中,寻求不变性.那么求曲线过定点问题有没有方法或规律可循?通过本专题学习,会让这个疑难问题“真相大白”.
Ø高考真题
【2017年全国1理】已知椭圆
:
,四点
,
,
,
中恰有三点在椭圆
上.
(1)求
的方程;
(2)设直线
不经过
点且与
相交于
,
两点.若直线
与直线
的斜率的和为
,证明:
过定点.
Ø解题策略
【过程分析】证明直线过定点,直线方程
需要满足什么条件?
一是:求出直线可能是特殊直线,比如
,则过定点
；
二是:截距
确定,斜率
不定,则过定点
；
三是:方程具有
(
是常数)这样的形式,则过定点
；
四是:直线方程
中若
具有一定的关系,比如
,则直线方程变为
,则直线过定点
.
本题中的直线
是否具有上述特征?如何体现上述特征呢?
【深入探究】可设
:
(
）,现在寻求
的关系,题中条件直线
与直线
的斜率的和为
,可设
,
,又
,可把直线
与直线
的斜率的和用坐标表示出来,如何寻求
的关系?只有把直线
与椭圆方程联
立,利用韦达定理把直线斜率和为
转化为
的关系.
Ø解题过程
【解析】(1)由于
,
两点关于
轴对称,故由题设知
经过
,
两点.
又由
知,
不经过点
,所以点
在
上.
因此
,解得
.故
的方程为
.
(2)设直线
与直线
的斜率分别为
,
,
如果
与
轴垂直,设
:
,由题设知
,且
,可得
,
的坐标分别为
,
.
则
,得
,不符合题设.
从而可设
:
(
).将
代入
得
由题设可知
.
设
,
,则
,
.
而
.
由题设
,故
.
即
.
解得
.
当且仅当
时,
,
:
,即
,
所以
过定点
Ø解题分析
从变化的元素为动直线
入手,其方程为
:
(
).将
代入
得
,设直线
与直线
斜率分别为
,
利用韦达定理和
关系,运用点的坐标沟通他们的联系达到求解目的。本题是寻找
参变量之间的内在关系,以点的坐标为纽带,将问题转化为一个含有参数恒成立问题进行求
解.
Ø拓展推广
1.定点问题的代数本质:在研究解析几何的定点问题时,研究对象的曲线方程的表示,除了
x和y以外还有一个或若干个参数,曲线方程所对应的点有无数个,直线或者曲线恒过定点的代数本质是:定点的坐标使含参方程恒成立。
2.定点问题的解题处理方法有两种:一是设参数,用参数表示动曲线的方程,转化为含参方程恒成立问题;二是通过特殊位置先找后证。过程中所涉及的数学思想方法是化归思想,即转化思想,它能引导我们进行合理解题,快捷地寻找解题突破口,形成解题思路.
3.求解定点问题的操作方法:
(1)确定题目中的核心变量(比如斜率
);
(2)利用条件找到
与过定点的曲线
的联系,得到有关
与
的等式;
(3)若等式的形式为整式,则考虑将含
的项归在一组,变形为“
”的形式,从而
只需要先让括号内的部分为零即可;
(4)若等式为含
的分式,
的取值一方面可以考虑使其分子为
,从而分式与分母的取值无关;或者考虑让分子分母消去
的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择容易观察到的形式).
变式训练1
(2019江苏太湖中学质检)椭圆
的离心率为
,其左焦点到点
的距离为
(1)求椭圆
的标准方程
(2)若直线
与椭圆
相交于
两点(
不是左右顶点),且以
为直径的圆过椭圆
的右顶点。求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标
变式训练2
(2019安徽四校联考)已知椭圆
经过点
,且椭圆的离心率为
(1)求椭圆的方程.
(2)过椭圆的右焦点
作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于
和
,设线段
的中点分别为
,求证:直线
恒过一个定点.
答案
变式训练1
见解析
(1)
,设左焦点
,解得
椭圆方程为
(2)由(1)可知椭圆右顶点
,
设
,
以
为直径的圆过
即
①
联立直线与椭圆方程:
,代入到①
或
当
时,
恒过
当
时,
恒过
,但
为椭圆右顶点,不符题意,故舍去
恒过
变式训练2
见解析
(1)
代入
可得:
椭圆方程为
(2)由(1)可得:
,
当直线
斜率不存在时,直线
方程:
,直线
方程:
所以可得:
直线
方程为
轴
当直线
斜率存在时,设直线
方程:
,则直线
方程:
设
,联立方程可得:
同理,联立
,可得:
的方程为:
,整理可得:
时,直线方程对
均成立
直线
恒过定点
而
斜率不存在时,直线
也过
直线
过定点