【2021中考真题23】四川眉山25题——手拉手、尺规作图

四川卷

2021中考数学

2021四川眉山25

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
(1)求证：△ACD≅△BCE；
(2)当点D在△ABC内部，且∠ADC=90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
(3)将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．

解法分析(1)

手拉手全等

由题意可知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
根据SAS即可证明△ACD≅△BCE.

解法分析(2)

X型相似

在直角三角形ADC中，AC=2，CD=CG==，
根据勾股定理得：AD=3，
设AM=，则CM=2-；
∵∠ADC=90°，∠DCG=90°，
∴AD∥GC，
∴△ADM∼△CGM，
∴AM:CM=AD:CG，
即:(2-)=(3):，
∴=，
∴AM的长为.

解法分析(3)

旋转与三点共线

当点A、D、E三点在同一直线上时，直线AD、直线DE、直线AE重合，我们只要从这三条直线中选出与动点运动轨迹保持特殊位置关系的那一条，问题可迎刃而解.然而本题并不能通过此一般方法解决，因此需要寻找共线的第四点来辅助解题.

问题转化

取DE的中点N，“点A、D、E三点共线”可转化为“点A、D、N三点共线”；

尺规作图

1.根据题意可知：随着正方形的旋转，点N在以点C为圆心，1为半径的圆上移动，画出此圆.
2.在运动过程中，DN始终是圆C的切线，过点A作圆C的两条切线，交圆C于点N、N，
3.依题意补全图形；

计算部分

如左图：
在直角三角形ANC中，AC=2，CN=DN=1，
根据勾股定理得：AN=，
∴AD=AN-DN=-1.
如右图：
根据切线长定理得：AN=AN=，
∴AD=AN+DN=+1.
综上所述：AD的长为-1或+1.

END

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