勾股定律

勾股定理为什么又叫“商高定理”？8.76万播放 00:44

勾股定律

勾股定理一般指勾股定律

平面几何基本定理

勾股定律（Pythagorean Theorem）又称勾股弦定理、勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。它是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是数形结合的纽带之一。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，故称之为勾股定理。

中文名勾股定理

外文名Pythagoras theorem

别称商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理

表达式a²+b²=c²

提出者毕达哥拉斯赵爽商高

提出时间公元前551年

应用学科几何学

适用领域范围数学、几何学

中国记载著作《周髀算经》《九章算术》

外国记载著作《几何原本》

限制条件直角三角形

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定义

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是

和

，斜边长度是

，那么可以用数学语言表达：

勾股定理是余弦定理中的一个特例。

推导

赵爽弦图

第24届国际数学家大会会标 《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，即成玄实。或矩于内，或方于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实，开其余即股。倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘，如法为股。股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。而勾实方其里，减矩股之实于玄实，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾，两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”

用现代的数学语言描述就是黄实的面积等于大正方形的面积减去四个朱实的面积。

2002年第24届国际数学家大会（ICM）的会标即为该图。

参考资料

• [1]从勾股定理到费尔马大定理
• [2]勾股定理的应用
• [3]《几何原本》第1.47节

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