2. 知其根、守其通、求其妙、思其变

老子《道德经》的二十八章:知其雄,守其雌,为天下溪……;知其白,守其黑,为天下式……;知其荣,守其辱,为天下谷……。

理解:老子哲学主张以静制动,以柔弱胜刚强。这种理解是不错的。但老子的这种思想,还有一个前提,就是要“知其雄”——首先要了解事物刚劲的一面,才能执守柔弱的一面。只有对事物全面了解,才能决定取舍。一般人往往片面了解或误解老子哲学,以为他一味地宣扬退让,这真是断章取义。实际上,老子是在有了“知其雄”的前提下,才有“守其雌”的结论。

那在数学解题过程过程中,知道题目或事物的本质;考察事物的一般性,深刻理解通法;思考事物的特殊性,求巧解;在前面的基础上,思考它的各种变化,即——知其根、守其通、求其妙、思其变。

【考试中心的试题评价】试题突出考查了双曲线的方程、顶点、渐近线等基本概念,结合圆和特殊角度给出双曲线信息,为考生综合应用所学数学知识创造了条件,提供了拓展解题思路、提高分析问题水平的空间。试题精心设计,融入了多个知识点,考生可以用一般方法进行计算,也可以用几何方法简化计算过程。

【解题反思 1】(知其根,守其通)知道其问题是:由圆与直线的位置关系建立 a , b , c 的等量关系,作图的时候,只需体现关键要素——垂径定理构成的三角形。解决这类问题的基本思路(通法):直线和圆相交,把圆心角都是化为圆心到直线的距离

。求离心率就是要构建等量关系,注意到渐近线的斜率为

,在

中,有 3 个独立的量,法一在直角三角形中构建等量关系; AP 既是等边三角形的高,也是点到直线的距离,即 AP的 2 种表达式就是等量关系。此题的解法也给出了构建等量关系的两种基本方式。

去观察图形中是否具有特殊三角形。抽象出了数量关系和几何关系,一般的情况就变为了特殊情况,而其特殊性正是破题的关键,非常重要的是,要有这种观察的意识,比如当我们求三棱锥表面积时,第一反应就要去观察这个三角形是等腰还是直角三角形。

问题越特殊,处理的方法越多。在学习和解题中,既要注意到通法,还要考虑特殊性,寻求简便方法。

【思其变 2】对题目中的数据和条件呈现的形式进行改变,得到上面的变式。

【思其变 3】从 ON = MN 到 ON = 2 MN 的改编,把问题变为了更一般的情况。

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