这是一道关于圆的经典题，第三问难度很大，属于试卷中的拉分题

例题：（初中数学综合题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于C、D两点，F是弧BD上一点，过点F作一条直线，交CD的延长线于点G，交AB的延长线于点M．连结AF，交CD于点H，且GF=GH．

（1）求证：MG是⊙O的切线；

（2）若弧AF=弧CF，求证：HC=AC；

（3）在（2）的条件下，若tan∠G=3/4，AE=6，求GM的值．

知识回顾

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

分析：（1）证明切线必定要连半径，连接OF．利用角之间的等量代换得出直角，证明OF⊥GM即可．

（2）由圆的对称性可知，OF为对称轴，由垂直可以证明AC∥GM，再推出∠CAH=∠CHA即可．

（3）通过tan∠G=3/4，AE=6，解直角三角形求出EC，AC，再设GF=GH=x，推出CG=CH+GH=AC+GH=10+x，利用切割线定理构建方程求出x，在Rt△EGM中，求出EG和EM，即可解决问题．这一问的难度比较大，大多数学生可能做不出来.

请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（以下过程可以部分调整，并且还有其他解题方法）

（1）证明：连接OF．

∴AB⊥CD，

∴∠AEH=90°，

∴∠EAH+∠AHE=90°，

∵GF=GH，

∴∠GFH=∠GHF=∠AHE，

∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA，

∴∠OFG=∠OFA+∠GFH=90°，

∴OF⊥GM，

∴MG是⊙O的切线．

（2）证明：∵弧AF=弧CF，

（由圆的对称性可知，OF为对称轴）

∴OF垂直平分线段AC，即OF⊥AC，

∵OF⊥MG，

∴AC∥GM，

∴∠CAH=∠GFH，

∵∠CHA=∠GHF，∠HFG=∠GHF，

∴∠CAH=∠CHA，

∴CA=CH．

（3）解：∵AC∥GM，

∴∠G=∠ACE，

∴tan∠ACE=AE/EC=tan∠G=3/4，

∵AE=6，

∴EC=8，AC=10，

设GF=GH=x，

则CG=CH+GH=AC+GH=10+x，

∵CD⊥AB于点E，

∴CD=2EC=16，

∴GD=10+x-16=x-6，

∵GF^2=GD·GC，

（运用切割线定理或者利用相似证明）

∴x^2=（x-6）（x+10），

解得x=15，

∴EG=CG-CE=25-8=17，

∵tan∠G=EM/EG=3/4，

∴EM=51/4，

∵在Rt△EGM中，EG=17，EM=51/4，

（计算格式不好写出，此处省略掉）

∴GM=85/4.

（完毕）

这道题属于圆的综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，切割线定理等知识，解题的关键是利用参数构建方程解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。