树、二叉树、完全/满/平衡二叉树的理解与对比

今天给大家带来的是数据结构中的树，包括是二叉树、完全/满/平衡二叉树，大家可以看下目录：

  • 一、树

    • 1.1、相关概念

    • 1.2、定义

    • 1.3、特点

    • 1.4、表示方法

    • 1.5、示例图

  • 二、二叉树

    • 2.1、定义

    • 2.2、基本形态

    • 2.3、示例图

  • 三、完全二叉树

    • 3.1、定义

    • 3.2、示例图

  • 四、满二叉树

    • 4.1、定义

    • 4.2、特点

    • 4.3、示例图

  • 五、平衡二叉树（AVL树）

    • 5.1、特点

    • 5.2、平衡因子

    • 5.3、示例图

    • 5.4、失衡调整

  • 六、数据对比

一、树

树是一种重要的非线性数据结构，直观地看，它是数据元素（在树中称为结点）按分支关系组织起来的结构，很像自然界中的树那样。树型结构也是信息的重要组织形式之一，一切具有层次关系的问题都可用树来描述。

1.1、相关概念

  • 路径：顺着节点的边从一个节点走到另一个节点，所经过的节点的顺序排列就称为路径；
  • 根：树顶端的节点称为根，一棵树只有一个根，如果要把一个节点和边的集合称为树，那么从根到其他任何一个节点都必须有且只有一条路径；
  • 父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
  • 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
  • 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
  • 叶节点：没有子节点的节点称为叶节点，也叫叶子节点；
  • 子树：每个节点都可以作为子树的根，它和它所有的子节点、子节点的子节点等都包含在子树中；
  • 节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推；
  • 深度：对于任意节点n，n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；
  • 高度：对于任意节点n，n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；
  • 森林：0个或多个不相交的树组成，对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林；
  • 节点的度：节点拥有的子树的数目；
  • 树的度：树中节点的最大的度；
  • 叶子节点：度为零的节点；
  • 分支节点：度不为零的节点；
  • 层次：根节点的层次为1，其余节点的层次等于该节点的双亲节点的层次加1；
  • 树的高度：树中节点的最大层次；
  • 无序树：树中节点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置；
  • 有序树：树中节点的各子树之间的次序是重要的，不可以交换位置；

1.2、定义

  • 树是由一个或多个节点组成的有限集合；
  • 树中必有一个特定的称为根的节点；
  • 剩下的节点被分成 n>=0 个互不相交的集合T1、T2、…Tn，并且这些每个集合又都是一个树。树T1、T2、…Tn被称作根的子树；

1.3、特点

  • 对比二叉树
    • 树中节点的最大度数（节点的分叉）没有限制，而二叉树节点的最大度数（节点的分叉）数量为2；
    • 树的节点无左、右之分，而二叉树的节点有左、右之分；

1.4、表示方法

树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：

  • 先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；
  • 同层子树与它的根节点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来；

1.5、示例图

树

如上图可使用括号表示法写成：(A(B(E,F),C(G),D(H,M)))

二、二叉树

二叉树（Binary Tree）是包含n个节点的有限集合，当n为零时该集合为空集，或者该集合由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

2.1、定义

  • 树中每个节点最多有两个子树，不存在度（分叉）大于2的节点；
  • 子树有左右之分，次序不能颠倒；

2.2、基本形态

  • 空二叉树
  • 只有一个根结点的二叉树
  • 只有右子树
  • 只有左子树
  • 完全二叉树：除了树的最后一层外，其他的节点既有左子树又有右子树；

2.3、示例图

二叉树

三、完全二叉树

对于深度为 k ，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

3.1、定义

  • 符合二叉树的定义规则；
  • 除二叉树的最高层h外，其它各层 (1～h-1) 的节点数都达到最大个数；
  • 第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布；

3.2、示例图

完全二叉树

四、满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 k，且结点总数是 2^k−1 ，则它就是满二叉树。

4.1、定义

  • 符合完全二叉树的定义；
  • 每个节点都有左右子叶并且叶子节点都处于最底层；

4.2、特点

满二叉树一定是平衡二叉树，平衡二叉树不一定是满二叉树；

4.3、示例图

满二叉树

五、平衡二叉树（AVL树）

平衡二叉树（又称平衡二叉查找树），由前苏联的数学家 Adelse-Velskil 和 Landis 在 1962年提出的高度平衡的二叉树，根据科学家的英文名也称为 AVL树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。

最小二叉平衡树的节点的公式为F(n)=F(n-1) F(n-2) 1，这个类似于一个递归的数列，可参考Fibonacci数列，公式解释为：

  • 1是根节点；
  • F(n-1)是左子树的节点数量；
  • F(n-2)是右子树的节点数量；

5.1、特点

  • 可以为空树；
  • 左右子树的高度相差不超过 1 （平衡因子的绝对值不超过1）的树，并且左右子数都是一个平衡二叉树；

5.2、平衡因子

  • 1：表示左子树比右子树高；
  • 0：表示右子树比左子树高；
  • 1：表示左子树和右子树等高；

5.3、示例图

平衡二叉树

5.4、失衡调整

平衡二叉树调整后，它的中序遍历的顺序是不会改变的。

5.4.1、插入时的失衡调整

所有的不平衡情况中，都是按照寻找最小不平衡树 => 寻找所属的不平衡类别 => 根据4种类别进行固定化程序的操作；

5.4.1.1、LL型调整（左子树过高）

首先找到最小不平衡的子树，再以其根节点向右旋转（向右旋转后相当于右面的子数的树高加1，而左面的子数的树高减1）；旋转之后源根节点的左孩子作为新的根节点，原来根节点的左孩子作为新的根节点；中序遍历对比：调整前：123；调整后：123；LL型调整LL型调整

5.4.1.2、RR型调整（右子树过高）
  • 首先找到最小不平衡的子树，再以其根节点向左旋转（向右旋转后相当于左面的子数的树高加1，而右面的子数的树高减1）；
  • 旋转之后源根节点的右孩子作为新的根节点，原来根节点的右孩子作为新的根节点；
  • 中序遍历对比：调整前：123；调整后：123；
RR型调整
5.4.1.3、LR型调整（左子树过高）

  • 以较高子树的根节点为中心向左进行旋转（示例图中为左子树较高，左子树的根为节点1），可以理解成先转换为LL型；

  • 以原根节点为中心，向右旋转（实例图中以节点3为中心，向右旋转）；

  • 调整之后，原来根节点的左孩子的右孩子作为新的根节点；

  • 中序遍历对比：调整前：123；调整后：123；

LR调整
5.4.1.4、RL型调整（右子树过高）

  • 以根节点的右孩子为中心向右进行旋转（示例图中为右子树较高，右子树的根为节点3），可以理解成先转换为RR型；

  • 以原根节点为中心，向右旋转（示例图中以节点1为中心，向左旋转）；

  • 调整之后，原来根节点的右孩子的左孩子作为新的根节点；

  • 中序遍历对比：调整前：123；调整后：123；

RL调整

5.4.2、删除时的失衡调整

5.4.2.1、LE型（左子树过高）

以下初始场景只会在删除时才会出现，删除后可按照LL型的调整策略进行调整；

LE调整
5.4.2.2、RE型（右子树过高）

以下初始场景只会在删除时才会出现，删除后可按照RR型的调整策略进行调整；

RE调整

六、数据对比

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