不等式恒成立，试试“端点效应”吧！
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学霸小张
嘿，兄弟，
知道啥叫“端点效应”么？
“端点效应”？ 干啥滴？？
尴尬了……
确实，
不少的同学都在打听：什么是“端点效应”？它到底可以用来干什么？
因为导数的综合题，实在是太难了，难到有时根本思考不过来。
那如果有捷径，谁又不想好好的用心参悟一下呢！
前两天学生做卷，又遇到了这类压轴题，分类讨论又无从下手，还有讨厌的三角函数，不少的孩子就觉得依然束手无策了。
什么样的题？
原题是这个样子的：
是不是再正规不过的导数题了？是不是再常见不过的恒成立？是不是也有同学觉得都做滥了这类……
还记得以前，讲过什么“三分思维”的处理策略：
分离函数——转化为切线找媒介
分离参数——转化无参数求最值
分类讨论——最最下策的求最值
对于端点效应，其实，以前也是有心了很长一段时间的，只是因为一直没有一个安静的时间码字，而耽搁了这个专题。
今天终是下定了决心再整理下，彻底解决这个问题吧。
其实，要说到“端点效应”，还是应该谈一下对函数图像的感性认识的。
我说的，当然就是函数中最本质、最重要的单调性问题了。
我们都知道，单调函数主要有两种形式：递增和递减。而递增和递减又各有三种不同的类型：
其实，如果不要很严谨，区分递增和递减，还有一种另类的方式，那就是看切线的斜率了。
而切线的斜率，自从有了导数，基本都是用导数的正负来恒量了。
切线与单调性
如果我说，函数在某点处的导数值为正，那么函数在该点左右的一个小范围内，一定是单调递增的。
你，觉得这是有道理的么？
画画、看看图像，再细细想想，也真的是有道理的。
有了这种感觉，我们就能得到下面的结论：
其实这个，也就算是端点效应的雏形了。
当然，还是通过具体的例题，来体会“端点效应”的基本思路。
从上面的过程不难看出，这种思路主要是利用了恒成立问题中，端点这一特定位置一定满足条件，从而找出不等式恒成立的必要条件。
只是，让人惊喜的是，这个必要条件，有时也恰好同时具备了充分性！
那么，这样得到的竟然就是充要条件了，这种状况，是不是纯属一种巧合呢？
答案当然是肯定的！
所以后面，才会有了相关的证明。
我将这种直接利用原函数定义域端点满足条件的效果，称之为“端点效应”的第一重修练。
以后遇到这种恒成立，是不是完全可以先用这种方法，缩小一下参数范围，再处理后续的问题呢。
嗯，如果不能用“三分思维”，这个思路绝对是值得一试的。
这个，就是前两天学生再次遇到的题了。
对于高二的学生，导数的综合题，其实我一直没有要求他们太多。
毕竟，具备深层次思考的能力，还是要经过高三一轮复习的洗礼，方能成就的。
如果单就这个题来说，和例1最大的区别，就是端点处的f(0)=0了，并没有如例1一样含有参数。
那么按照之前的分析，如果要求在端点x=0的后面，函数值f(x)>0恒成立，最起码的要求，函数在x=0处的切线斜率应当是非负的。
于是，这便有了“端点效应”的第二重修练。
因为由这种方式得到的参数范围，一定首先是必要条件的。所以，后面也同样，还是要认真的证明一下它的充分性。
唉，这题竟然是在端点处的函数值与导数值都为0了！
这时候，就只有继续求二阶导数啦。
也确实，好像现在好一点的导数综合，都要或深或浅地考查下二阶导数的。
其实，也好理解，思路是一样的，只是有了点递进的感觉而已。
这种情况，就可以称之为“端点效应”的第三重修练啦。
嗯，是不是很尴尬！
一路走来，都好好的，却在这里，“端点效应”竟然翻车啦，
而且还是高考真题！
最重要的，与十年前的高考真题，结构还是那么的相近！
时隔10年的高考卷，这期间的变化竟然都这么大了么？
其实，出现这种情况，也真的是很容易理解的。
毕竟按照这种方式求出的，也只是必要条件而已，同时具备充分性，一定是命题老师手下留情了。
但不管怎么说，如果这种思路可行，确实是比较方便的。
而且在客观题中，它可是大有用武之地哦！
不过因为真的有时可能端点效应会失效的，所以，最常规的思路还是一事实上要清楚的。
有兴趣的同学，可以认真参考下面的这篇推送，做更进一步的学习和探索。
链接：
完
学习是件很容易的事，但真的需要一贯的坚持。
奉上下面的一段文字，师生共勉。
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致谢
我走了很远的路，吃了很多的苦，才将这份博士论文送到你的面前。二十二载求学路，一路风雨泥泞，许多不容易，如梦一场，仿佛昨天一家人才团聚过。
出生在一个小山坳里，母亲在我十二岁时离家。父亲在家的日子不多，即便在我病的不能自己去医院的时候，也仅是留下勉强够治病的钱后又走了。我十七岁时，他因交通事故离世后，我哭的稀里糊涂，因为再得重病时没有谁来管我了。同年，和我住在一起的婆婆病故，真的无能为力。她照顾我十七年，下葬时却仅是一副薄薄的棺材。另一个家族成员是老狗小花，为父亲和婆婆守过坟，后因我进城上高中而命不知何时何处所终。如兄长般的计算机启蒙老师邱浩没能看到我的大学录取通知书，对我照顾有加的师母也在不惑之年匆匆离开人世。每次回去看他们，这一座座坟茔都提示着生命的每一分钟都弥足珍贵。
人情冷暖，生离死别，固然让人痛苦与无奈，而贫穷则可能让人失去希望。家徒四壁，在煤油灯下写作业或者读书都是晚上最开心的事。如果下雨，保留节目就是用竹笋壳塞瓦缝防漏雨。高中之前的主要经济来源是夜里抓黄鳝、周末钓鱼、奍小猪崽和出租水牛，那些年里，方圆十公里的水田和小河都被我用脚测量过无数次。被狗和蛇追，半夜落水，因蓄电瓶进水而摸黑逃回家中；学费没交，黄鳝却被父亲偷卖了，然后买了肉和酒，都是难以避免的事。
人后的苦尚且还能克服，人前的尊严却无比脆弱。上课的时候，因拖欠学费而经常被老师叫出教室约谈。雨天湿漉着上课，屁股后面说不定还是泥。夏天光着脚走在滚烫的路上。冬天穿着破旧衣服打着寒颤穿过那条长长的过道领作业本。这些都可能 成为压垮骆驼的最后一根稻草。如果不是考试后常能从主席台领奖金，顺便能贴一墙奖状满足最后的虚荣心，我可能早已放弃。
身处命运的漩涡，耗尽心力去争取那些可能本就是稀松平常的东西，每次转折都显得那么的身不由己。幸运的是，命运到底还有一丝怜惜。进入高中后，学校免了全部学杂费，胡叔叔一家帮助解决了生活费。进入大学后，计算机终于成了我一生的事业与希望，胃溃疡和胃出血也终与我作别。
从家出发坐大巴需要两个半小时才能到县城，一直盼着起出大山。从炬光乡小学、大寅镇中学、仪陇县中学、绵阳市南山中学，到重庆的西南大学，再到中科院自动化所，我也记不清有多少次因为现实的压力而觉得自己快扛不下去了。这一路，信念很简单，把书读下去，然后走出去，不枉活一世。世事难料，未来注定还会面对更为复杂的局面。但因为有了这些点点滴滴，我已经有勇气和耐心面对任何困难和挑战，理想不伟大，只愿年过半百，归来仍是少年，希望还有机会重新认识这个世界，不辜负这一生吃过的苦。最后如果还能做出点让别人生活更美好的事，那这辈子就赚了。
贫困学子逆袭，博士论文“致谢”部分文字