八年级|一道手拉手模型探究题

题目展示

如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．

（1）易得：①线段BE与CD的数量关系是         　；②△AMN的形状是　    　．

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．则（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；否则，说明理由．

题目解析

本题是一道手拉手模型探究题，分清手拉手模型中的“头”“左手”“右手”“左拉手线”“右拉手线”是关键，从而确定拉手线与头构成的三角形分别是什么，然后证明其全等即可．

（1）①BE＝CD

解法提示：

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，

在△BAE和△CAD中，

，

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴BE＝CD．

②等腰三角形

解法提示：

∵△BAE≌△CAD，

∴∠ABE＝∠ACD，

∵BE＝CD，M、N分别为BE、CD的中点，

∴BM＝CN，

在△ABM和△ACN中，

，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴AM＝AN，

∴△AMN是等腰三角形．

（2）解：（1）中的两个结论仍然成立；

理由如下：在△BAE和△CAD中，

，

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，

∵BE＝CD，M、N分别为BE、CD的中点，

∴BM＝CN，

在△ABM和△ACN中，

，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴AM＝AN，

∴△AMN是等腰三角形．