共振的原理是什么？
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本文较为硬核，请酌情跳过部分内容。
关于共振，大家应该都听过这样一句话：
驱动力的频率与一个系统的固有频率相同时，系统的振幅最大，这就是共振。
很可惜，这句话是错的。
你没看错，这句话是错的！
网上的科普作品很少会区分“位移共振”和“速度共振”，这导致有不少人误解了共振。
我原本打算简单写几句话，提一下位移共振和速度共振的区别和产生条件就了事。不过，只介绍共振其实是“买椟还珠”，把物理学的精髓都抛弃了，我终究还是决定长篇大论。
在阅读过程中，你可能会不止一次感觉这篇文章答非所问。但是，相信我，坚持看到最后你就会发现：为什么只介绍共振是在“买椟还珠”。
（用完整的物理思想，对共振进行“降维打击”）
先了解一下牛顿第二定律
涉及到运动与力的问题，必然要从牛顿第二定律入手。
F=ma？
外行才用！
本文重在以振动为主题，阐述一套完整的物理方法：微分方程。
牛顿第二定律其实是个微分方程，微分方程贯穿整个物理学。甚至可以说，学物理却不学微分方程，还不如不学物理。
为了把 F=ma 写成微分方程，我们先看一看速度的计算方法：
这个公式计算的是一段时间间隔内的平均速度，物理学家不会就此满足，他们更想计算物体在某一瞬间的速度。
这个问题要用微积分解决，其实这个思想并不复杂，我们只需要把时间间隔选取得足够小（但不是零），小到比你能想到的任何时间间隔都要小。这个足够小的时间间隔就是时间的微分。
可以用dt来表示时间的微分。
同样的，我们还需要把位移选取得足够小（但不是零），小到比你能想到的任何位移都要小。这个足够小的位移就是位置的微分。
可以用dx来表示位置的微分。
借助时间和位置的微分，我们可以表示出计算物体瞬时速度的公式：
这其实就是数学上的导数，速度就是位置对时间求导数。
然后我们可以把对速度做的操作再对加速度做一遍。回想一下加速度：
这个公式计算的是一段时间间隔内的平均加速度，依葫芦画瓢，可以得到瞬时加速度：
加速度就是速度对时间求导数。
进一步思考：
速度表示的是物体的位置随时间变化的快慢。
加速度表示的是物体的速度随时间变化的快慢。
所以加速度表示的是：
物体的位置随时间变化的快慢随时间变化的快慢。
这句话可能有些绕，其实就是说：
加速度是位置对时间求两次导数，也就是二阶导数。可以表示成：
所以可以把牛顿第二定律写成：
这就是个微分方程，含有某些量的导数或微分。准确地说，这是个二阶微分方程，求导数的最高阶数是二阶导数。
至此，微分方程被引出了，下面我就借助振动现象来展示一下微分方程的威力：
（对共振进行“降维打击”）
从简谐振动谈起
简谐振动是最简单的振动，一切与振动有关的现象都要从简谐振动谈起。
不过我却不想从振动开始谈论简谐振动，我想从“法则”开始这个话题，向大家表明：简谐振动是一定的“法则”和条件之下的必然产物。
这个“法则”就是牛顿第二定律，我们只需要给定一个具体的力，求解牛顿第二定律这个微分方程，就可以得到各种可能发生的运动。
我们常说的方程是代数方程，代数方程的解是一个数。
而微分方程的解是一个函数（或者说是代数方程），对于牛顿第二定律，它的解是运动方程，描述着物体的位置随时间变化的规律。
物理学的精髓是测量与描述。
最好是用数学语言去描述世间万物。
代数方程描述的只是表象，微分方程描述的是表象背后的规律，所以那些伟大的物理公式都是微分方程。
描述简谐振动的方程也仅仅只是表象，对于振动，我们真正需要知道的是振动背后的规律，或者说是法则。
简谐振动背后的法则自然是牛顿第二定律，不过这一次要给出一个具体的力：
这个力是回复力，x表示的是物体偏离平衡位置的位移，负号表示力的方向和位移的方向相反。只要物体受到的合力满足这个公式，物体就可以做简谐振动。
这个公式和胡克定律很像，所以弹簧和物块是演示简谐振动最简单的模型。
支配这个系统的运动状况的法则是牛顿第二定律，此时的牛顿第二定律是：
（k是弹簧的劲度系数，m是物块的质量。）
求解这个微分方程，可以得到物块可能发生的运动模式。
为什么只是可能发生的运动模式，不能明确一点吗？
这是由于想要得到明确的运动模式还需要知道这个模型的初始条件。也就是物块的初始位置，以及物块在初始位置时的速度。
此时的牛顿第二定律的解可以有2种运动模式：
1.如果物块的初始位置没有使弹簧被拉伸或压缩，而且物块的速度是零，那么物块将会静止，不会振动。
2.如果物块的初始位置使弹簧被拉伸或压缩了，或者初始位置没有使弹簧被拉伸或压缩，但是物块的速度不为零，那么物块确实会振动。这也就是说简谐振动只是这个模型可能发生的一种运动模式。
解微分方程可是个技术活，所以本文直接摆出结果：
（为了不吓到读者，我就不写具体的数学公式了，只画出图像让大家直观感受一下各种运动模式。）
简谐振动的频率仅由系统本身的性质决定，在这里是由物块的质量m和弹簧的劲度系数k决定，这个频率也被叫做系统的固有频率。
计算固有频率的公式：
阻尼
实际的振动都有阻尼，振幅会不断减小，直到静止。
我仍然不打算从振动开始这个话题，而是从“法则”开始这个话题，向大家表明：有阻尼的振动是一定的“法则”和条件之下的必然产物。
（同样的，不发生振动也是一定的“法则”和条件之下的必然产物。）
阻尼在微分方程里面表现为阻力，这里的阻力通常是指固体在流体中运动时受到的黏滞力：
C是一个与固体的形状和流体的性质有关的常数，v是固体的运动速度，负号表示阻力的方向与固体的运动方向相反。
阻力的公式也可以写成：
此时的牛顿第二定律是：
这个微分方程的解是什么？
答案有些复杂，因为可以分为4种运动模式：
静止，这没什么可说的。
过阻尼、欠阻尼、临界阻尼则是靠弹簧和物块组成的这个系统的性质决定的：
这也就是说有阻尼的振动仅仅只是这个模型可能发生的的一种运动模式（振动频率仍然是系统的固有频率），其它运动模式并没有发生振动。
大家试想一下，如果我一开始就执着于振动，那么会遗漏多少内容？
驱动力
上面谈论的都是无驱动力的自由振动，这里要谈论有驱动力的受迫振动。
可以把振动的类型分为：
我们在一步步走向最普遍的振动，简谐振动是无阻尼的自由振动，最普遍的振动是有阻尼的受迫振动。
有两种类型的驱动力可以引起振动：
周期力
非周期力
非周期力驱动的振动是自激振动，涉及到非线性过程（比如风吹树叶发出声音），只要看到“非线性”三个字，就意味着是物理学界的难题。
所以这里只谈论周期力驱动的振动，同样是从“法则”开始这个话题，向大家表明：受迫振动是一定的“法则”和条件之下的必然产物。
周期性的驱动力可以表示为：
（ω是驱动力的角频率。）
考虑最普遍的情况，既有阻尼，又有驱动力，此时的牛顿第二定律是：
这个微分方程的解只有1种运动模式：
此时的振动频率不再是系统的固有频率，而是驱动力的频率。
速度共振和位移共振
仍然考虑最普遍的情况，既有阻尼，又有驱动力。
尽管此时系统的振动频率不再是固有频率，但是固有频率依旧在影响着系统的振动，它决定着驱动力在一个周期内对物块做的功的多少。
在一个周期内，驱动力对物块做的 正功 越多，物块的速度峰值就越大；驱动力对物块做的负功越多，物块的速度峰值就越小。
如果驱动力在物块运动的整个周期内都做正功，物块的速度峰值将会最大，这就是速度共振。此时，驱动力对系统的能量输入达到最佳状态，所以速度共振又被称为能量共振。
可以想象，驱动力的频率与系统的固有频率相同时，驱动力将在物块运动的整个周期内都做 正功，此时就发生了速度共振。
事实也确实如此，可以从牛顿第二定律出发，推导出速度峰值计算公式：
补充一下β的定义公式：
可以用一些数学方法得到速度峰值最大时（速度共振）对应的驱动力频率：
此时驱动力的频率与系统的固有频率相同。
接下来又有一个问题：
速度峰值最大，就意味着振幅也最大吗？
光靠脑子想是不可靠的，想要得到可靠的答案，就需要数学计算。
可以从牛顿第二定律出发，推导出振幅计算公式：
这个公式的图像就是一些资料里经常出现的这张图：
观察上面的公式，可以用一些数学方法得到振幅最大时（位移共振）对应的驱动力频率：
很容易看出，振幅最大时，驱动力的频率并不等于系统的固有频率。也就是说位移共振的共振频率并不等于系统的固有频率。
（数学的力量就是这么强大，可以把握每一个细节。）
一般工程中所说的共振就是位移共振，位移共振又叫振幅共振。
写在最后
有很多人主次不分，把各种细枝末节捧得太高，执着于“猎奇”，却一直忽视完整的方法论。就共振来说，它仅仅只是动力学中的细枝末节。
掌握了一套完整的知识体系，理解那些奇特的现象是水到渠成的事，否则即使你了解了那些新奇的现象，也仅仅只是自以为是。