小学数学盈亏问题专题讲解

　　一、基本题型
　　第一类：一盈一亏
　　例1：阿姨给幼儿园小朋友分饼干。如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干。问有多少小朋友？有多少块饼干？
　　分析：依题中条件，我们可知：
　　第一种分法：每人3块，还剩16块。
　　第二种分法：每人5块，还少4块。
　　我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以不仅把那剩下的16块分完，还少4块，总数上，第二次比第一次多16＋4＝20（块）。
　　换句话说：每人多分2块，就得多分20块，我们就可以算出有多少人了，20÷2＝10（人），那总饼干数就是：10×3＋16＝46（块）或10×5－4＝46（块）。
　　第二类：二次都是盈
　　例：阿姨给幼儿园小朋友分饼干。如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就多4块饼干。问有多少小朋友？有多少块饼干？
　　分析：依题中条件，我们可知：
　　第一种分法：每人3块，还剩16块。
　　第二种分法：每人5块，还多4块。
　　我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由剩下16块变成只剩下4块，总数上，第二次比第一次多16－4＝12（块）。
　　换句话说：每人多分2块，就得多分12块，我们就可以算出有多少人了，12÷2＝6（人），那总饼干数就是：6×3＋16＝34（块）或6×5＋4＝34（块）。
　　第三类：二次都是亏
　　例：阿姨给幼儿园小朋友分饼干。如果每人分3块，则少4块饼干；如果每人分5块，那么就少16块饼干。问有多少小朋友？有多少块饼干？
　　分析：依题中条件，我们可知：
　　第一种分法：每人3块，还少4块。
　　第二种分法：每人5块，还少16块。
　　我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由少4块变成了少16块，总数上，第二次比第一次多16－4＝12（块）。
　　换句话说：每人多分2块，就得多分12块，我们就可以算出有多少人了，12÷2＝6（人），那总饼干数就是：6×3－4＝14（块）或6×5－16＝14（块）。
　　二、变化题型（语言上的变化）
　　例：同学去划船，如果每只船坐4人，则少1只船；如果每只船坐6人，则多出4只船，问同学们共多少人？租了几只船？
　　分析：讲解时，可先让学生练习以下这道题，引导学生在对比两道例题异与同，进行条件转换。
　　（同学去划船，如果每只船坐4人，则多4人；如果每只船坐6人，则少24人，问同学们共多少人？租了几只船？）
　　例：学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？
　　分析：仔细观察，发现第一次分法与基本题型的分法不一样，有什么办法转换过来？由其中两人各擦4块、其余各擦5块则余12块，可知，若每人都擦5块，则余12－（5－4）×2＝10（块），而每人擦6块则正好。
　　可见每人多擦一块可把余下的10块擦完。则擦玻璃人数是[12－（5－4）×2]÷（6－5）＝10（人），玻璃的块数是6×10＝60（块）。
　　三、特殊例题
　　1．钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？
　　分析：关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔。
　　解1：都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）90角，这是双亏：分差是（8－5）3支，总差是（90－15）75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。
　　　［（12×8－6）－15］÷（8－5）
　　＝75÷3
　　＝25（角）——钢笔的价钱
　　　25×5－15
　　＝125－15
　　＝110（角）
　　＝11（元）——小明带的钱数
　　解2：都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多（12×5－15）45角，买8支圆珠笔多6角。
　　　［（12×5－15）－6］÷（8－5）
　　＝39÷3
　　＝13（角）——圆珠笔的价钱
　　　13×8＋6
　　＝104＋6
　　＝110（角）
　　＝11（元）——小明带的钱数
　　2．某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？
　　解答：关键在于条件的理解，每个寝室安排8个人，要用33个寝室；因没说盈或亏，我们只能认为至少有：
　　（33－1）×8＋1＝257（人）
　　至多有：33×8＝264（人）；每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，也没说盈或亏，我们也只能认为至少有：（33＋10－1）×（8－2）＋1＝253（人）；至多有：（33＋10）×（8－2）＝258（人）。
　　根据这两个条件可以得到人数在257与258之间。（至少取大数，至多取小数。）
　　3．有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问第二组有多少人？
　　解答：因分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。说明第一组的人数不到48÷4＝12（人），多于（48÷5＝9……3）9个人，即10到11人。
　　同理，第二组不到48÷3＝16（人），又多与48÷4＝12（人），即13到15人，因15－10＝5（人）；由此可知：第一组是10人，第二组是15人。
　　4．“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等。花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个。因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？
　　分析：根据题意我们可知盒内的球的数量一定是2、3、5的倍数，假设1份球数是30个；原来各买一份要：
　　　30÷2＋30÷3
　　＝15＋10
　　＝25（元）
　　现在要（30＋30）÷5×2＝24（元）；即小明每买30＋30＝60（个）球，就可以少花1元钱，那么小明一共就买了4×60＝240（个）球。
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