数运算的深度学习
以下内容来自马云鹏老师数运算的深度教学的部分内容
深度学习”课堂教学改进的基本理念是，在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，积极主动地参与学习过程，深度探究某一学习主题下的关键问题，进而理解和掌握学科核心内容，发展高阶思维，形成积极的情感态度和价值观的过程。“数的运算”是小学数学中的核心内容，如何在运算教学中体现深度学习的理念，如何设计和实施运算教学是一个值得关注的话题。
一、聚焦“数的运算”的学科本质，提炼深度学习主题
深度学习是围绕对学生具有挑战性的主题展开的。主题的确定重点在于对学习内容本质的分析，以及特定的学习内容对学生学习所具有的挑战性。
数的运算内容分布在小学各年级。一年级认识数开始，就学习加减乘除四则运算。随着数的概念的扩充，运算扩展到小数和分数，逐步形成知识体系。数的运算与数的认识、数量关系等内容有着密切的关系。数的运算教学不仅要让学生熟练掌握计算方法，同时也要引导学生在运算过程中积极思维。深度学习的教学设计，重点解决的问题之一就是如何从内容的整体分析中，提炼挑战性主题，进而围绕挑战性主题引导学生进行深度探究，培养学生的高阶思维与核心素养。
基于数的运算内容的本质的理解，数的运算教学的主题可以分为以下几类：一是有关四则运算的意义及其关系，二是有关数的计算的方法，三是有关运算律与运算顺序。
四则运算的意义及其关系是学习运算和分析理解数量关系的基础，也是进行数的运算的基本依据。加减乘除四种运算中，加法是最基本的运算。
数的计算方法主要包括精算、估算和近似计算。每一种计算所要解决的问题性质不同，要得到的结果的类型不同，决定了计算的具体方法也不同。
我们必须关注两个方面的问题：一是进行什么运算（加减乘除）；二是对什么数进行运算（整数、小数或者分数）。加和减的算理本质上是相通的，都是相同单位（数位）上的数相加（减），得到多少个这样的单位（数位），再根据数的意义（如十进制），将所得到的结果（或部分结果）写在不同的数位上。较为复杂的运算还需要用到运算律。乘法的运算，根据乘法与加法的关系，也同样是相同单位（数位）上的数相加（当用到乘法口诀的时候，使加变得简单一些）。除法是乘法的逆运算，也可以用乘法来进行除法的运算（所谓的看除法想乘法）。由此看来，所有的计算方法本质上都可以归结为加的运算。
再来看不同数的运算。整数（自然数）的运算是基本的，对于上述运算的学习先是从整数开始的。学生在整数的意义上理解和掌握了如何进行加减乘除运算，在这个基础上再学习小数和分数的运算。小数由于和整数的表达形式相同（十进制），所以可以顺利地将整数四则运算的方法推演（迁移）到小数。不同的是如何处理小数点的问题，而小数点本质上就是如何确定数位（整数位的个位）。小数乘法有一点麻烦，在整数乘法时，个位总是确定的（末位就是个位），而在小数乘法时，个位与末位往往是不同的。两个因数的末位不是个位（在大多数情况下），那么乘得的积的个位如何确定是一个关键问题。小数除法会更复杂一些，涉及被除数、除数和商的数位，以及小数点（个位）的确定。而分数的运算，由于分数的表示形式不是十进制，比小数还要复杂一些，涉及统一分数单位（通分），理解分数的乘和除的意义等。
估算是在特定的问题情境中，没有必要或不能够给出准确结果时用的计算方法。估算得到的结果虽然不是精确数，但估算的结果是确定的，是对问题给出一个肯定的答案。估算是对数量的计算，因此，估算一定是在具体的问题情境中，根据问题的实际意义做得出的合乎逻辑的结果。估算的过程与方法是伴随着逻辑推理展开的，即在解决估算问题时，一定要有逻辑推理的过程。
近似计算是对于一个具体问题，在取得一个准确结果（通过精算）或者没有一个精确的结果（如计算的结果是一个循环小数）时，通过一定的方法（如四舍五入），用一个近似的值表示结果。取得什么样的近似值，仍然需要根据实际的问题情境来判断，所以近似计算也是对于数量的计算。对于一个计算结果，如何取得近似值也要根据具体的问题情境而定，包括用什么样的方法得到近似值（如四舍五入、去尾法等）。在一般的情况下，往往建议保留两位小数，或者两位有效数字。知道近似计算的结果是怎样来的，就可以判断出这个结果的实际含义，也可以将这个结果还原成原始的样子。
运算律与运算顺序是进行运算的依据和基本法则，是理解算理不可缺少的，也是理解数量关系的基础。运算律是“一切初等运算的依据”，是进行加减乘除四则运算的基本法则，是理解运算算理的基本依据。如理解38+45的运算过程，要经历这样几个步骤：38+45=30+8+40+5（用数的意义）=30+40+8+5（加法交换律）=70+3+5+5（用数的意义）=70+3+10（加法结合律）=70+10+3（加法交换律）=80+3=83。以运算律为主题的教学，应当将对运算律的理解和运算律在理解算理中的作用体现出来。
运算顺序包括同级运算的顺序和不同级运算的顺序，以及如何根据需要改变原有的运算顺序。运算顺序需要在具体的问题情境的数量关系中体现。在进行超过一步的计算时，就要考虑先算什么、后算什么。如同级计算是按照从前往后的次序进行，通常不用加括号。如果需要改变运算顺序，就需要用到括号。不同级的运算先算高一级的，再算低一级的，通常括号也是不加的。同样，要改变运算顺序，就需要加括号。在实际教学这样的运算顺序时，不是直接告诉学生这是一种规定就可以了，而是要通过具体的问题，在问题情境中运算的“故事”的发生是有顺序的。学生通过分析情境中的数量关系理解运算的顺序，掌握运算顺序的道理，学会运算顺序的方法。
深度学习的教学设计是针对具有挑战性的学习主题展开的，对于数的运算教学具有挑战性学习主题的确定，应当根据数的运算内容的本质，充分考虑学生学习该主题的基础和准备，从以上几个方面选择对学生具有挑战性的问题。
二、整体分析运算内容，明确指向核心素养的教学目标
学习内容的单元整体分析，主要基于两个方面的考虑：一是这个单元内容所涉及的学科本质；二是分析学生学习这一单元内容的基础条件、主要挑战，以及该内容对于学生发展的价值，在此基础上明确单元学习的挑战性主题和指向学生发展的特别是指向核心素养的目标。这里指的单元可以是教材中的自然单元，也可以是按教学的需要，对同一主题内容进行整合后的单元。
1.单元主题内容的纵向分析
一是内容主题的确定。北师大版教材在这个单元中的主题只有一个，两位数加减法的运算。而人教版教材除了这个主题，还有解决问题、连加连减法和混合运算（运算顺序）的主题。这部分内容主要的学习主题是“两位数加减法”，属于数的计算方法的问题。北师大版教材的4个例题都是这个主题的内容，所以很容易确定这个单元的主题。人教版的内容有些复杂，但两位数加减法是主要的学习主题，共有6个例题。所以，使用人教版的教师，应当考虑有的问题是否可以与后面的某些内容整合，如单独将运算顺序作为重点来学习。综上，这部分内容主要的学习主题是数的计算中整数运算的方法（两位数加减法）。
二是前后知识内容的联系与准备。北师大版这个内容安排在一年级下册，同时在一年级下册这个单元前面还有一个数的运算单元，内容不多，重点是整十数加减和不进位的加减法。显然，这个内容是学习加减法计算的准备，并不是学习两位数加减法计算的重点。所以，如果要突出学习主题的重点内容，可以考虑将两个单元内容进行整合，合并成一个单元统筹考虑进行设计。后续的内容“连加和连减法”“加减混合运算”和“三位数加减法”都与两位数加减有密切联系，虽然其中有的内容不是以计算为主，但这个内容是安排在二年级下册，在教学时应当考虑这个因素，至少在学习该内容时学生对相关的学习内容可能有所淡忘。
人教版这个内容安排在二年级上册。前面相关的知识在一年级上册，有整十数加减法和加减法口算。这些内容可以为学习两位数加减法做准备，但不在同一册教材上，如果要进行整合的话可能有些困难。其他内容可以考虑与另外主题的内容（如果是同一册的内容最好）进行适当整合。如果在这一单元内进行教学，不应作为这组学习内容的重点。
三是相关知识与方法的准备。在一年级下册或二年级上册之前，学生都学习了20以内数的加减法，对于加减法的基本运算方法，包括进位和退位都有初步的理解和掌握。特别是学生应当熟练掌握了20以内加减法的运算，已经有了这方面的运算能力。同时，对于整数的认识，学生已经掌握了千以内数或者万以内数的认识，对整数的意义，特别是整数的记数法（十进制）有了较好的了解。这些都是学习本单元（主题）内容不可缺少的准备。
因此，这部分内容深度学习的主题可以确定为“探索和掌握两位数加减法的计算方法”。
2.主题内容的横向分析
横向分析重点解决这一主题在不同教材上是如何呈现的，呈现了什么方法，如何通过不同版本教材的横向比较为教学设计做准备。下面，我以北师大版和人教版两个版本教材中的“两位数加减法”为例，以进位加法为重点分析其呈现方式。北师大版教材前两个例题是进位加法，后两个例题是退位减法，其重点是解决进位或退位的问题，是两位数加减法学习主题的重点，也是学习整数加减法的重点。人教版教材是把不进位和进位的加法放在一起，把不退位和退位的减法放在一起，进位加法只有1个例题，而退位减法有2个例题。
以下来自马云鹏老师的数运算的深度教学的讲座的PPT
