利用基本图形分析法建立函数关系式

本文主从三道例题着手，在平行线和等角背景下，如何通过合理添加辅助线，构造基本图形从而搭建函数关系式。

解法分析：本题的背景是正方形背景，隐含的条件是90°和平行线，还有一个条件是一组等角，由这些条件带来的联系，我们可以通过以下三种方式添加辅助线，构造基本图形。

解法1：平行线+等腰→角平分线，构造角平分线基本图形

解法分析：如图1，由∠APB=∠PBQ=∠BPQ，联想构造角平分线基本图形。如图2，添加辅助线后出现了两对全等三角形。如图3，通过线段的转化，在▲PDQ中利用勾股定理构建y关于x的函数关系式。

解法2：利用面积法进行计算

解法分析：如图，将正方形的面积表示为三个三角形的面积，三角形面积求法的难点在于▲PBQ的面积，以BH为高，PQ为底进行面积计算。

解法3：构造等腰三角形合一基本图形，利用X型基本图形+相似三角形

解法分析：如图1，根据两角相等，延长构造等腰三角形，再利用A.A相似得到▲ABP∽▲BME，利用X型基本图形得到CE的长，带回相似三角形产生的比例线段，继而构造y关于x的函数关系式。

解法分析：本题的背景是矩形背景，隐含的条件是90°和平行线，还有一个条件是一组等边，由这些条件带来的联系，我们可以通过以下四种方式添加辅助线，构造基本图形。

解法1：公共边+距离相等→H.L→角平分线，构造角平分线基本图形

解法分析：如图1，联结AE后，试图依据H.L构造全等三角形，但是显然▲OAF与▲ADF不全等，因为这不是正方形背景，因此如图2，通过构造正方形，以构造出图3的全等三角形，由于正方形BAHL中不含y，因此通过引入字母a表示HK的长度，最后利用(HK-CF-A型基本图形)构造函数关系式。

解法2：利用面积法进行计算

解法3：构造等腰三角形合一基本图形，利用X型基本图形+相似三角形

解法4：构造等腰三角形，利用勾股定理和同角三角比相等

解法分析：如图1，由AE是∠BAO的平分线，构造等腰三角形，还是通过引入未知数a，在▲EOG中利用勾股定理，用含x的代数式表示a，然后利用tan∠EGO=tanCEF，构建函数关系式。

      01 角平分线+平行→等腰三角形； 角平分线+等腰三角形→平行； 等腰三角+平行→ 角平分线； 当平行线中夹着两组角平分线时，就会出现直角三角形。

02 当出现等角或等距离时，构造角平分线基本模型

25-1解法展示：

25-3解法展示：先根据题意画出图形，排除不可能的情况：

依据平行+距离相等，构造基本图形，有三类解法：

这是本文中涉及的基本图形，当题目中出现等角、等距离、平行这些关键条件时，要能够联想构造上述四类基本图形，并结合勾股定理、相似三角形、比例线段这些常用的解题途径进行问题解决。以此达到利用基本图形分析法进行问题解决的最终目的。

同时，在问题解决的过程中，多联想一题多解和多题一解，找到题组间的联系，多积累基本图形和问题解决的办法。中考中的最后一题往往往往也能利用基本图形分析法进行解决的。