2021普陀、静安25题解法分析(垂径定理及勾股定理）

2021普陀二模25题背景：

普陀25题的背景是梯形和圆。25-1考察了垂径定理及平行四边形的判定；25-2考察了“双等角模型”、相似三角形、垂径定理及勾股定理的综合应用；25-3考察了相交两圆公共弦的计算及勾股定理的运用。

解法分析：本题的第一问通过解直角梯形得到各边的长度(如图1)，再利用垂径定理和cosC的值求出CM的长度，利用“一组对边平行且相等”判定ADCM为平行四边形。

解法分析：本题的第二问是典型的“双等角模型”，通过作高构造相似三角形，通过解△DMC，得到CM的长，再利用垂径定理求出CE的长。

链接：2021杨浦一模25(2)

本题除了构造双等角模型计算外，还可以利用∠C≈53°计算，通过利用tan∠AMB=tan∠EMC，求出CM的值.

链接：2021虹口一模25题(3)

解法分析：本题的第三问公共弦只可能经过点A和点D，因此进行分类讨论。经过点A的情况比较简单；经过点D时，利用定理“连心线垂直平分公共弦”，利用勾股定理求出半径。

2021静安二模25题背景：

静安25题的背景是圆和相似三角形。25-1考察了构造A型基本图形，利用比例线段和勾股定理的关系求解；25-2利用勾股定理和A型基本图形进行求解；25-3利用垂径定理、勾股定理、A型基本图形和锐角三角比进行求解。

解法分析：本题的第一问联结CP后，构造A型基本图形，利用PC-OD-A型基本图形，借助比例线段进行求解。

解法分析：本题的第二问在Rt△CPO中，利用勾股定理求OC的长；在Rt△ACO中，利用勾股定理求AC的长；最后再利用PC-OD-A型基本图形构建比例关系。

解法分析：本题的第三问先利用PC-OE-A型图求出CE的长度，利用垂径定理求出CH的长度，继而求出BH的长度，在△OBC和△HBP中利用cosB求出x的值即可。