相似三角形背景下的分类讨论问题

在压轴题中往往存在很多分类讨论问题，如“若它是一个等腰三角形”或“它是一个直角三角形”或“某两个三角形相似”等诸如此类问题。本文将主要探讨在相似三角形背景下的分类讨论问题。

方法点睛：

从已知出发：由于背景图形是菱形，因此存在X型基本图形，可以利用比例线段来解决问题。

从结论出发：▲CEF是直角三角形分三种情况进行讨论：①∠FCE=90°，②∠EFC=90°，③∠FEC=90°，注意E是射线DC上的点，根据题意画出草图，再判断是否成立。

方法小结：本题的难点在于利用菱形中的x型，利用比例线段求DE的长度。其实，如果这道题是求DF的长度，则在八年级学完菱形后也可以尝试，只是第二种情况F在O的两侧。

菱形背景下与比例线段相关的证明：

方法点睛：

    （1）利用全等证明线段相等；

    （2）欲证BEFM为平行四边形，则要根据“一组对边平行且相等”作为突破口，利用基本图形构造比例线段。同时要善于发现题目中隐藏的基本图形。

图中包含的3组基本图形:X/A字型

方法点睛：

从已知出发：由于背景图形是等腰三角形，并且DE//BC，因此存在两组A字型基本图形，可以利用比例线段来解决问题；易证BD=CE，由于CE在一组A字型中，因此可以通过求CE来得到BD的长。

从结论出发：▲FGE是等腰三角形分三种情况进行讨论：①GF=GE，②GE=EF，③DF=GF，当GF=GE时，此时D与A重合，不合题意，因此只有两种情况。

方法小结：本题的难点在于如何设元，同时善于利用图中2组A字型，建立边之间的数量关系，同时如何分类讨论，排除不可能的情况，也是需要着重考虑的。

方法点睛：

从已知出发：只能得到∠ACD=45°，BC=6。其中有基本图形“斜A字型”。

从结论出发：▲BEF与▲ACD相似，先发现其中的一组等角，即∠FEB=∠A（同是∠ABC的余角。又发现∠ACD=45°，由▲BEF与▲ACD相似，则进行分类讨论：①∠EFB=45°，②∠FBE=45°。

    方法小结：本题的难点在于分类讨论，①是要找到两组三角形的一组已知等角；②如何巧妙利用45°角；③如何运用tanA=3。本题中的第②类难度较大，一方面要合理设元，另一方面要发现其中的共边三角形建立数量关系。

基本模型链接

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正方形背景下的相似三角形及比例线段证明

九年级微专题复习之——手拉手三角形模型

相似三角形存在性问题链接

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2019年上海中考25题分析（三）