实际上，《同济高数》是非常抽象的，而且脱离实际的。从目录来看，似乎完整的覆盖了整个《CALCULUS》体系，但是在几乎所有的关键点上，同济的编者并没有用心处理，或者说，至少没有从学生的角度去思考。可以说一切知识都是：“点到为止，泛而不精”。全书语言都过于机械数字化，当然内容都是正确的，也没有明显错误，但正是这种”中庸精神“，少了一份灵气，少了一份让学生加深理解的辅助材料。要复制公式谁不会，我可以用几页A4纸把所有公式都写出来，难道这样就代表整个《微积分》了吗？往往是在公式之外的地方，在书本留白的边缘，在最细节的地方，最难的地方，最抽象的地方，最需要descriptive statement 的地方才能看出一个作者的功力是否深厚，学问是否到家。“举重若轻”，是对一个学者的最高的赞誉和评价，可惜国内教材和教授们在这个方面，还有很长的路要走呢。《同济高数》用很准确的语言把极限“D-E”定义摆出来，但是没有说明这个定义的来龙去脉，因此很多学生都看不懂，甚至相当一部分学生都无法准确发音 delta -epislon，更别说理解到“为什么要用D-E来代表极限？不能用其他符号吗？”。而实际上 D-E 在古希腊字母中仅仅表示字母表的第四个和第五个字母，没有任何特殊的含义，主要是ABC 都被欧几里得霸占在几何学里，没办法用了，被迫无奈采用了 D-E。而在美国教材中，原作者用了一大段很简单的语言和几幅图片，将极限进行了解释“Limit is an active approachingprocess, it is not a still real-valued number nor variable, no matter how closeyou are, you will never reach that target ”。极限这个概念在牛顿---莱布尼茨的时代还没有出现，因为极限涉及到的数学原理其实很复杂，仅仅是“连续性”和“光滑性”这两个看起来很简单的名词，就让整整一个世纪的数学家废寝忘食，夜以继日，才得出结论。而至于我们今天看到的D-E定义，更是牛顿死后近两百年才被德国数学家威尔斯特拉斯提出，因此美版教材普遍都不要求“证明”，只要求“了解”极限的意识形态。《同济高数》对于一元微积分几乎完全没有实例，而对于极端重要的sinhx，coshx，更是只有寥寥几页纸，并且还带了一个星号，给人一种“欲练此功，必先自宫”的恐惧，sinhx,coshx 就是由 E^X 跟它的反函数E^(-X)进行线性组合得到的，简单吧？但是同济直接忽略了 y=e^x 的教学，实际上 y=e^x 是微积分中最简单，也是最重要的函数族。正因为这个特点，对它们的求导/求积就非常简单，特别是后期学习无穷级数，泰勒展开式，向量微积分，开普勒三大定理，概率的MGF，都时时刻刻体现出 y=e^x 的巨大威力。更严重的问题是，同济和浙大的编者，都用了反人类的思维方法来开展教学。比如对y=x^n的求导教学，同济是直接拿定义出来，先把它证明了，再举例告诉学生这个定理可以直接使用。台下的学生一脸问好……难道大家不会觉得这是跟正常思维相反吗？美版教材就是先带领我们学会y=1的求导，然后y=x的求导，然后y=x^2的求导，然后y=x^3的求导，然后作者Stewart循循善诱地问同学说"nowdo you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe thederivative of y=x^5 ? And what about y=x^n?"最后他才会摆出严密的定义，并证明。此时，学生也在过程之中学会了“由特殊到一般，再由一般到特殊”这样一个非常重要的数学思维。相对应的求积也一样，先计算y=1的积分，然后y=x的积分，然后y=x^2的积分，然后y=x^3的积分，最后再问学生"now do you see any pattern among these process ?Can you GUESS what maybe the antiderivative of y=x^8, and what abouty=x^n?" Stewart从来不会直接甩出一堆晦涩的证明，而是先从几个简单的例子，引导学生去 GUESS 这样的结论是否具有一般性，并且证明自己的GUESS 是对的还是错的。Stewart 所用的例子都很简单，并没有太多的技巧和套路，但是这样的效果却非常好，由浅入深的帮助学生"explore the unknown"，这才是一名优秀的老师所应有的态度和水平。多年后，或许你会忘记多元积分的公式，你也会忘记Laplace，Fourier，Taylor的公式，但只要你还记得推理的方法，你就很容易在几分钟内完成这一个过程。李开复曾经说到“忘掉你所学的一切公式和定理，如果你还能利用自己的理解去推理出来，那就说明你的学问已经到家了。” 对这句话，本人无比赞同。美版教材同时附带了大量的一元微积分习题，只列举简单的入门习题：（1）固定的鱼塘里放入一定数量的鱼苗，在足够营养下，鱼苗不会无限增长，而是指数增长，利用微积分知识，就可以求的相应的增长数量。（2）博尔特在一次110米栏比赛中，总用时12秒，那么问你，他在4.5秒的时候，具体的瞬间速度是多少？同样前提条件下，博尔特在8.5秒的时候，已经总共跑了多少米？最后就会问，有什么方式把上面两个不相干的问题联系起来？（3）某降血压的药物，给高血压病人吃了后，检测得血压下降的速度与药物浓度有直接关系，利用微积分就可以求得，吃多少的药物，才是有效的安全范围。（4）化学反应中，某元素反应时间跟元素浓度呈正比关系，但是明显不是普通的线性关系，利用微积分，就可以求的某时间的浓度，或者完全反应所需的时间。（5）发射地球同步卫星，需要多少做功，某瞬间需要多大的速度，如何确定速度跟做功之间的关系，在简易条件下如何检验相对论的正确性。（6）水面的波浪从中心点向外扩张，呈 sinhx 的轨迹；而悬链线的受力情况，却是呈coshx的轨迹，试用微积分知识进行简单说明。（7）流体通过某管道时，其靠近管壁的流体速度会因为阻力二减慢，中心部分由于阻力较小而速度加快，试用微积分知识来解释为什么。当然还有大量的变速的位移，变力做工，经济学的边际效应，价格弹性，资产定价模型（CAPM, WACC），旋转体的体积，等等都是《同济高数》所缺少的实际应用。正是因为这些栩栩如生的例子，学生才能深刻理解到微积分对于现代生活的巨大改变和意义。否则，假如仅仅是把纯粹的数字翻来翻去，求导/求积，学生都会了，那然后呢？难道学了微积分就是来做一个人工计算器吗？国内教材总是直接叫学生套用某某公式解题目，而忽略了公式之外的逻辑理解和推到能力，美版教材就基本相反，很强调对基本公式的推到和归纳能力，而降低对公式本身的依耐性。这是两种截然不同教育理念的冲突。国内教材就像（授人与鱼），给你一堆公式和定理，让你照着用。美版教材就像（授人与渔）给你一种发现公式和定理的思维，让你学会自己归纳总结。它首先就会告诉我们：《微分学》研究“instantaneous,incremental and related changes” 的问题；而《积分学》研究“outputfrom irregular input ”的问题。《微积分》的本质就是研究"activevariable"的问题，教材特别多次强调“thesignificant difference between calculus and algebra and geometry is thatcalculus is dealing with ACTIVE/MOVING variable and algebra/geometry is workingon still variable”.
对同济《线性代数》，浙大《概率统计》的意见
这两套教材也是被国人视为瑰宝，敬而远之，但是相当大量的学生反映：“《概率统计》由于比较具体，还勉强看得懂。但是《现代》实在太抽象，所以很多学生反应无法理解”。因为这两套教材也十分抽象和理论化，缺少很重要的PREFACE，让学生在学习之前能对本学科有一个 FRAMEWORK 上的把握和掌控，基本上看完了也不知所云。美版教材无论如何都会有这些东西，并且开篇就告诉你《线代》研究的对象是“vector, especially COLUMN vector”，并不是所谓的“matrix”或者“determinant”或者“eigenvalue”，并在一开始就对向量进行了细致的教学，从加法、减法，二维图示，三维图示，到dotproduct，到cross product，到matrix，到determinant，最后才是水到渠成地引入matrix as linear transformation。非理工科的学生，学到这里就差不多了，后面vector space 和 orthogonallity ,比较抽象，难度也大，可以有选择地放弃。至于最重要的rank , nuliity , dimension ,同济并没有说清楚。如果是一维的，那就是两个向量共线；二维的，那就是两个向量形成一个四边形；三维的，那就是三个向量形成一个体积；四维以上的，照样是体积，但是一般不讨论。而所有的“行列式”、“矩阵”、“秩”、“通解”、“特解”、“特征向量”，“特征值”，等等名词，都是rref 后围绕COLUMNvector 展开的运算而已。但是由于《同济线代》根本没有这些基础知识做铺垫，导致学生基本看不懂教材的内容。就相当于：让学生去建造一栋摩天大楼，但是不让你打地基，直接就在平地施工建造第一层。实际上非理工类本科阶段的《线性代数》是非常简单的，是最基础的加减乘而已，但是（很多）学生却说不清楚 columnspace 和 row space 的区别，这就直接导致后期学习捉襟见肘，举步维艰。浙大的《概率统计》相对来说比同济优秀太多了，但还是存在非常致命的缺点。首先，是体系太混乱，竟然对于discrete/continuous RV 的最基础术语(pmf, pdf,cdf)都欠缺完整。其次，是教学太浅显，所有的实例都是一笔带过，对于大名鼎鼎的Poisson（），和Exponential () 甚至都没有说明白之间的微妙关系，简直不如维基百科。美版的《概率与统计》对一维的变量分布进行了非常细致的教学，五种discrete/continuous RV ，及其相关的mean，variance，median, skewness。每一种分布都配了至少五道例题，每到例题都有详细的解答思路和完整的mathmatical induction，几乎占据了一半的教材内容，并附带有非常丰富的课后练习。而对于更加复杂的二维变量，及其mean，cor-variance，co-relation,教材反而用了较少的版面，因为二维不过是两个一维变量围成的一个面积而已，其他并无明显差异，只要先扎扎实实学好一维的，二维的问题就变得很简单。美版教材特别说明了几个问题“Poissondistribution looks very complicated at first, but it is actually the discreteversion of Exponential distribution, which is very easy to calculate. ButExponential distribution, together with its brother Erlang distribution, isalso a simplified version of Gamma distribution. But the most interestingfinding is that the Chi-squared distribution is a special case of Gammadistribution as well as a special case of Norma distribution, which means tosome extent, all the important distributions can be related to Normaldistribution ! ” 其实越是学到后面，越会发现“向量”的重要性，它即出现在《线代》，也出现在《概率》，更出现在《高等微积分》中，可以说“向量”，是连接“可感知世界”与“不可感知世界”的桥梁，是数学的“核武器”。看完美国教材只有一个感受：真正好的教育是将复杂的东西简化，强化基础概念和实际应用，弱化具体计算和逻辑证明，最终让普通学生也可掌握相对深奥的理论知识，并迅速转入实际应用。国内的教育正好相反：强化具体计算和逻辑证明，却弱化了基础概念和实际应用，最终生产了许多解题高手，但他们完全不懂这些数学“有什么用？
