突变论
突变论是研究自然界和人类社会中连续渐变如何引起突变或飞跃，并力求以统一的数学模型来描述，预测并控制这些突变或飞跃的一门学科。它把人们关于质变的经验总结成数学模型，表明质变既可通过飞跃的方式，也可通过渐变的方式来实现，并给出了两种质变方式的判别方法，它还表明，在一定情况下，只要改变控制条件，一个飞跃过程可以转化为渐变，而一个渐变过程又可转化为飞跃。突变论认为事物结构的稳定性是突变论的基础，事物的不同质态从根本上说就是一些具有稳定性的状态，这就是为什么有的事物不变，有的渐变，有的则突变的内在原因。在严格控制条件的情况下，如果质变经历的中间过渡状态是不稳定的，它就是一个飞跃过程; 如果中间状态是稳定的，它就是一个渐变过程。
关于突变论呢，实际上存在着许多问题，比如为什么会突变，突变的因素是什么？
“突变”一词，法文原意是“灾变”，是强调变化过程的间断或突然转换的意思。突变论的主要特点是用形象而精确的数学模型来描述和预测事物的连续性中断的质变过程。
突变论是一门着重应用的科学，它既可以用在“硬”科学方面，又可以用于“软”科学方面。在数学上突变论属于微分流形拓扑学的一个分支，是关于奇点的理论。它可以根据势函数而把临界点分类，并且研究各种临界点附近的非连续现象的特征。
突变论的创始人是法国数学家雷内托姆，他于1972年发表的《结构稳定性和形态发生学》一书阐述了突变理论，荣获国际数学界的最高奖---菲尔兹奖章。突变论的出现引起各方面的重视，被称之为“是牛顿和莱布尼茨发明微积分三百年以来数学上最大的革命”。
突变论最初由荷兰植物学家和遗传学家德弗里斯（Hugo Marie de Vrier，1848～1935）提出。他根据进行多年的月见草（Oenthera lamarckiana）实验的结果，于1901年提出生物进化起因于骤变的'突变论’，历史上曾发生了重大影响，使许多人对达尔文的渐变进化论产生了怀疑。但后来的研究表明，月见草的骤变是较为罕见的染色体畸变所致，并非进化的普遍规律。
从I.牛顿和G.W.莱布尼兹时代以来得到很大发展的微积分学，一般只考虑光滑的连续变化的过程，而突变论则研究跳跃式转变、不连续过程和突发的质变。突变论的基础是结构稳定性。结构稳定性反映同种物体在形态上千差万别中的相似性。例如，人的面貌虽因岁月流逝而发生变化，但仍存在区别于他人的特征。结构稳定的丧失，就是突变的开始。突变论的基本概念是静态模型，它把形态按结构稳定特征分类。至于描述结构变化的动力学理论，至今仍不完备。
突变论的数学基础是奇点理论和分岔理论。最原始的奇点是微积分中实变函数的极大极小点(临界点)。这种函数可看成是实数空间 R1(坐标x)到实数空间R1(坐标y)的映射。而平面(x1,x2)到平面(y1,y2)的光滑映射可用一对函数y1=f1(x1,x2),y2=f2(x1,x2)表示。
1955年H·惠特尼在研究这种映射的特点时，得出两类一般奇点。一类是折叠,可用公式y1=x剐,y2=x2表示。把球面投射到平面上,赤道上的点产生的奇点就是这种奇点。另一类是尖点,局部坐标可写成y1=x劅+x1x2，y2=x2。把空间曲面y1=x劅+x1x2投影到平面(y1，y2)上,平面上有一半立方抛物线，在原点处有一个尖点 (见图)。曲线把平面分成两部分,较小部分的原像均由三点构成，而较大部分只由一个点构成。在尖点处映射引起突变，这是突变论所研究的最常见的一种突变。
惠特尼证明，尖点是稳定的，也就是在这种映射附近的映射在适当的地方也有同类的奇点。