中国文化之数学随想 / 四六文摘

（唐）杜甫《茅屋为秋风所破歌》诗曰：“八月秋高风怒号，卷我屋上三重茅。”大风起兮，茅草飞扬。但请问，为什么屋顶之茅草，是被风向外卷走，而不是落在屋里呢？或许读者会想：此乃常识。确实，此为常识，却具有很深刻之数理。

但凡用过洗衣机洗裤子的人都有这一经验，即裤子口袋总是会被自动翻出来。这显然也是个常识，原理却跟风卷茅草向外飞一样。若读者觉得这个常识不算太重要的话，则再想想这一问题：飞机上升之动力是否纯粹来自于发动机？答案是否定的。飞机飞行，属于空气动力学之研究范畴。但令人惊奇的是，风卷茅草向外飞，洗衣机自动翻口袋，与飞机上升动力之来源，其数学原理竟完全一致！此外，这一原理，还可以解释高血压患者在血压飙升时服用扩张血管之药物为什么可以暂时性地降低血压。

为解释上述现象，先介绍一个数学模型。若流体（气体或液体）沿着一流线通道流动，设其流体质点x的速度为v(x)，线密度为

，对应质点处流体所产生之压强为P(x)，则其满足方程

其中C为某个常数，在固定场合其不变，在不同场合则可能不同。不难看出，若在某场合流体之流动速度v(x)增加，则流体所产生之压强P(x)必然减小。

回顾上述现象。若屋外无风，则屋顶外表面与内表面所受之空气压强保持平衡。若屋顶上空狂风怒吼，此时空气之流动速度大大快于平时，因此屋顶外边所受之空气压强大大减小；而此时屋内若仍风平浪静，则屋顶内部之空气压强不变。两相比较，则内压大大高于外压，屋顶（若不够牢固）必然要被内压往外掀翻。随之，屋内风平浪静之局面也被打破，但这已是另一个问题了。洗衣机自动翻口袋之现象同理。当滚筒里的水在搅拌时，口袋外边缘之水流速度加快，引起水流压强减小；而口袋内部由于几乎没有水流压强之变化，则口袋在内部压力下（通过内外水流压强差）自动外翻。

目前的降压药物，基本上是通过扩张血管以增加其截面面积来达到目的的。一旦血管截面扩大，则血液在管内之“拥挤”程度降低，从而使得血流速度增加。根据公式

可知，此时血压将暂时降低。通过这种药物来降压，是无策之下策。血管壁是脆弱的，其厚度也有限，经常通过药物使其反复扩张，总有一天会突破其弹性极限，后果堪忧。飞机上升之原理亦大致如此。机翼在上表面与下表面从机身到翼尖之长度不相等，其中上表面较长。空气要在相同时间内从机身流动到翼尖，这就使得机翼上表面之空气流动速度大于下表面之速度。根据公式

可知，上表面之空气压强低于下表面之压强，这意味着空气产生了浮力。

对于公式

之理解，读者还可以根据一个小实验来实现。将一张纸水平贴近嘴唇下方（此时在重力作用下，纸面会呈弧形下垂），若在紧贴纸面上空之水平方向快速吹气，则纸张会向上飘动。这是因为纸面上方之空气流动速度加快，从而导致上压减小；而纸面下压不变，是以可将纸张凭空托起。此外，这一数学模型还可用来解释“船到桥头自然直”与“野渡无人舟自横”等诗句。其原理大致相似，此不赘述。

自然，杜甫写《茅屋为秋风所破歌》，并非为了揭示这一流体力学之结论。作者如此解读，纯粹出于个人爱好。再如（战国）屈原之楚辞《远游》中有此一段：

曰：“道可受兮不可传，其小无内兮其大无垠。无滑而魂兮彼将自然，壹气孔神兮于中夜存。虚以待之兮无为之先，庶类以成兮此德之门。”

即道只可意会不可言传，其可小到不能再分，亦可大至无边无界。再如屈原《卜居》曰：

詹尹乃释策而谢曰：“夫尺有所短，寸有所长，物有所不足，智有所不明，数有所不逮，神有所不通。用君之心，行君之意，龟策诚不能知事。”

屈原原本是要向太卜郑詹尹占卜自己应该何去何从的，但一番感慨后，郑詹尹却谢绝之。其中所涉及之数学理论，主要是精度与测度（所短与所长）、集合之完备性等。“物有所不逮”、“神有所不通”等，都说明了对应集合之不完备性。

（西汉）东方朔《七谏·谬谏》中曰：

同音者相和兮同类者相似，飞鸟号其群兮鹿鸣求其友。故扣宫而宫应兮，弹角而角动。虎啸而谷风至兮，龙举而景云往。音声之相和兮，言物类之相感也。

该段文字说明了同类系统满足一致性之数学物理思想。

可通过数学来解读之文学作品还有很多，如（唐）陈子昂《登幽州台歌》曰：

前不见古人，后不见来者。

念天地之悠悠，独怆然而涕下。

其有两种意思，一是无穷不可数集合之等势性。如正切函数

可将有限区间[0,1]（可看成是当前一小段时间）一一映射到扩充实数域

（可看成是古往今来直至永恒），即诗人在短时间内遍历了很长之时间。

再如（南宋）叶绍翁《游园不值》之“春色满园关不住，一枝红杏出墙来”，可以利用集合之不完备性来解释。若集合是不完备的，则其内存在不一定收敛的柯西序列或该序列之极限不再属于该集合。如：有理数是不完备的，因为可以构造序列

其中

是有理数，但该递归数列之极限为

，不是有理数。应用于此，则知园子、院墙是不完备的，其内之连续序列可能收敛于其外部。

正如有些函数的的极限一样，在非数学专业的高等数学课的教学当中，老师可能只能告诉学生极限不存在，如极限

事实真的如此吗？

事实并非如此！正如“一枝红杏出墙来”，人们不能因为那一枝出墙去了，就可以无视其存在、认为其不是杏枝。当函数或数列在某个方向上趋于无穷大时，只意味着其极限不是有限可控的，而并不能说明其是不收敛的。若仅仅认为结束于有限之可观测值才是收敛，那未免有点狭隘。极限等于无穷大实际上也是一种收敛，只不过它趋于未知而已。而对于