很多人以为自己是数学天才，直到遇见了极限

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反比例函数是大家接触最早和最熟悉的函数之一，它的函数解析式是y=k/x（k为常数，k≠0）。我们利用反比例函数的解析式，就可以画出它的图像，如下图所示：

根据函数的图像可知，在k＞0情况下的第一象限内，反比例函数中x的值无限变大，大到无穷的时候，曲线就不断向x轴靠近，换句话说y的值逐渐向“0”靠近；或者是y的值无限变大，曲线就不断向y轴靠近，x的值逐渐向“0”靠近。

此时，有些人就会产生一些疑问，当这个x的值取到非常大、非常大、非常大的时候，y的的值和“0”之间存在什么样的关系呢？会相等吗？

对于类似这样的疑惑，我们从现代数学“极限”的角度出发，就很好回答，但在几百年前，像这样的问题在当时却属于一个世界性的难题。

我们知道，对于某一个函数，假设其中的某一个变量x，它在无限变大（或者变小）的这一变化过程中，导致另一个变量y逐渐向某一个确定的数值m不断地靠近，不过最终的结局只能是不断的接近“m”，却永远都无法跟“m”重合。

简而言之，某一变量x处于无限变大或无限变小这一变化过程，那么另一个变量y的值永远都不会等于m，但只要变量x一直处于无限变大或无限变小中，那么y的值可以取等于m，这就是极限的思想。

因此，如果一个人要想理解“极限”这一抽象数学概念，那么就需要学会接受和明确知道极限是一种“变化状态”的描述，变量y有不断地努力靠近m点的趋势。此时，变量y永远趋近的值m就叫做“极限值”。

极限作为微积分、数学分析等重要内容的基础，可以说是初等数学迈入高等数学一个关键门槛。正如所有的数学知识概念出现的背景一样，极限也是属于社会经济发展和科学技术之间产生的“矛盾”产物。

在早期16世纪的欧洲，一些国家开始进入资本主义萌芽阶段，整个社会处于快速变革状态，生产力得到极大的发展，出现一些最基本的工业化。人们在发展过程中，发现很多生产技术都出现问题，跟不上社会发展的速度，当时的数学知识已经无法顺利解决一些“变化的量”，如运动变化、天文学、机械化、航海、采矿、大坝建造等，都需要新的数学知识才能解决。

初等数学很多时候只能解决一些相对“稳定”的量，但在现实工作生活中，充满了大量“变化的量”，这就要求数学必须突破现有的知识壁垒，能够找到一种可以描述和研究运动、变化过程的新数学知识，最终解决这些“变量”问题。基于当时这样的社会发展背景，数学家都努力尝试突破传统的思维模式，直接促进“极限”思维的形成和发展，从而建立微积分等重要数学分支。

最早的时候，牛顿和莱布尼茨在各自的领域创立了微积分，让“极限”的发展拥有了正是展开拳脚的舞台。在当时，微积分一经创立诞生，就帮助很多人顺利解决了以往在运动变化、力学、天文学等中认为束手无策的难题，数学也迎来了新的发展。

不过，牛顿和莱布尼茨所创立的微积分并不是十分完善，特别是在一些关键疑难点没有讲清楚，如“无穷小量”的解释，逻辑上存在着很多混乱，尽管当时的“初始微积分”已经能轻而易举解决一些实际工作中的难题。

就像牛顿的瞬和流数或是莱布尼茨的dx和dy，都需要解决和讲清楚“无穷小量”这一特殊概念，但这两位伟人都没有给出明确、严谨的定义。

为什么“无穷小量”会这么重要呢？

我们都知道，在微积分的推导或运算过程中，常常需要先用“无穷小量”作为分母进行除法，然后又把“无穷小量”当作零来处理，以消除那些包含有它的项。

那么问题就来了，“无穷小量”究竟是零还是非零呢？

因为如果它是零，怎么能用它去作除数呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的那些项消除掉呢？这种逻辑上的矛盾，直接或间接影响微积分的发展，更让所有数学家不仅意识到“极限”这一概念的重要性，更明白极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。

当时的人们束缚于狭小的观念里，还是以传统的数学思维方式去看待“极限”，试图用“零误差”去进行变量计算，这样的思维方式只能导致悖论的发生，这就是数学史上所说的“无穷小量”悖论产生的原因。

牛顿和莱布尼茨在晚期都不同程度地接受了极限思想，也都努力去尝试解决这一“神秘”概念，试图以极限概念作为微积分的基础。

很多可惜，牛顿和莱布尼茨为都无法完整得出极限的严格表述。

虽然当时的人们没有弄清楚“极限”这一概念，但微积分的出现，确实促进社会的发展。随着微积分应用的更加广泛和深入，大家都意识到需要解决“极限”这一问题，要有严谨、逻辑的数学语言对其进行完整描述。

加上人类文明不断向前进步，遇到的问题越来越复杂，这就要求数学必须推出明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则。

进入19世纪之后，法国著名数学家柯西比较完整地阐述了“极限”的概念，以及相关的理论。柯西在《分析教程》中指出：当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为“无穷小量”。

柯西把“无穷小量”视为“以0为极限的变量”，这就准确地确立了“无穷小量”概念，“无穷小量”就是极限为“0”的变量，在变化过程中，它可以是“非零”，但它的变化趋向是“0“，无限地接近于“0”，可以人为用等于0方式去处理。

直白地讲，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于“0”，但它变化的趋向是向“0”，可以无限地接近于“0”，那么人们就可以用“等于0”的方式来处理，就不会产生错误的结果。

极限论正是从变化趋向上说明了“无穷小量“与“0“的内在联系，从而澄清了逻辑上的混乱，完善了微积分的发展。

柯西在《分析教程》中，不仅对极限概念进行基本明确的叙述，并以极限概念为基础，对“无穷小量“、无穷级数的“和”等概念给出了比较明确的定义。

“极限”这一重要理论之后又经过波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的努力工作，进一步把极限论建立在严格的实数理论基础上，并且形成了描述极限过程的ε-δ语言。

要想学好高等数学，就要弄清楚“极限”这一重要概念，认识到它是一个动态无限变化的过程，这样变化的趋势可以等于某一个常量。这一极限思想是建立微积分理论的重要思想基础，对数学等众多学科的发展有着的重大意义。

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