神奇的公式
小学阶段的学习，学生们会接触到很多关于面积计算的公式，这些公式犹如一环又一环紧密相扣的链条，不断地在“旧公式”的基础上推陈出新。
圆的面积公式是小学阶段所要学习的最后一个平面图形面积公式，同样可以通过转化为已知图形，进而推导出公式。学生对公式之间存在密切联系的感知是建立在公式推导过程中的，在面对实际问题时，他们更习惯于寻找决定公式的要素，进而解决问题。很少有人会主动从公式联系的视角进行思考。
学了这么多面积公式之后，这些公式在学生们的头脑中会形成怎样的知识结构呢？
作者：六5班 姜恺琪
观点1：我们最先学的是长方形，其它图形的面积公式都是以长方形为基础推导出来的。
观点2：圆可以转化成长方形、平行四边形、三角形和梯形，这些图形与圆都有着密切的联系。
观点3：我们发现长方形、正方形、平行四边形、梯形和三角形面积之间有联系，它们都可以分割成三角形的面积进行计算。
观点4：长方形、三角形、梯形和圆都可以通过切拼转化成平行四边形，正方形是特殊的长方形。
可以看出，不同的人对于面积公式建立的知识结构并不完全相同，对此我们并不需要强求一致。学生对所学知识需要有一个自我建构的过程，只要能够做到“言之有理”，就应允许学生有自己独特的见解。学生自己建构面积公式的图式结构无关对错，只应有“好”与“不好”之分。
总体上看学生制作的思维导图，极少有学生会把梯形作为中心进行梳理。于是，在学生充分表达自己观点的基础上，老师因势利导提出了如下思考：
古书记载，有一个原始部落，他们非常喜欢四边形，尤其是崇拜四边形中的梯形。在他们那里，没有其他图形的面积计算方法，只有梯形的面积计算公式，他们能解决其它图形的面积问题吗？
有的同学对这个问题感觉茫然，因为他们从未从“运用”的角度思考过面积公式间联系的问题；有的同学则按照“推导”的思路，从梯形面积公式出发，开始推导其它图形。一番思考探究之后，牧宸同学的发言引起了大家的共鸣：
在上述讲解过程中，我们可以发现如下的共同之处：
横线上的部分都是在求两个数的平均数，这个平均数能在图形中找到吗？
借助动画的演示，学生能够直观地认识到“梯形中位线的长度恰好等于上底与下底之和的一半”，进而体会这些图形的面积都可以通过“中位线×高”加以解决。
回顾平面图形面积的学习历程，我们按照“长、正方形→平行四边形→梯形”的顺序，由“特殊”逐渐走向“一般”，走的是一条“推导之路”。而用梯形的面积公式计算其它图形的面积，走的则是一条“运用之路”。之所以梯形的面积公式可以解决其它四边形的面积，是因为相对长、正方形和平行四边形而言，梯形更为一般。所以走“运用之路”就是经历由“一般”走向“特殊”的过程。
为了让学生更为深刻地认识“由特殊到一般”的研究思路，课堂上又提出如下问题进行研究：
正方形的面积除了可以用“边长×边长”计算以外，还可以用“对角线×对角线÷2”计算。在“S正=n×n÷2”这个公式中（n表示正方形的对角线），影响S正的要素是什么呢？显然就是正方形的对角线。正方形的对角线有什么特点呢？相等且互相垂直平分。那么，
问题1：你能找到更一般的情况吗？
问题2：到底什么样的四边形可以用“对角线×对角线÷2”计算面积呢？
面对第5种情况，学生是有不同看法的。有的人表示可以用“对角线×对角线÷2”计算面积，有的人则持反对意见。赞同的同学是怎样思考的呢？他们认为在四边形外并不一定非要画长方形，画一个平行四边形就可以解决问题了。
“对角线×对角线”就是平行四边形的面积，四边形的面积是平行四边形面积的一半，所以面积就是“对角线×对角线÷2”。
问题的症结找到了，这些同学误以为平行四边形的面积就是相邻的两条边相乘的积。按理说这样的混淆，早在初学平行四边形的面积时就已经解决了，但它仍然会时不时地冒出来，干扰一部分孩子的思考。可见源自孩子自己的“原认知”——邻边相乘就是平行四边形的面积，是有多么的“顽强”。问题厘清了以后，“对角线互相垂直的四边形，它的面积=对角线×对角线÷2”的结论也就显而易见了。
这个部落的人能利用梯形的面积公式计算圆的面积吗？这个问题让学生们想起了利用“茶杯垫”推导圆面积公式的方法：
从而顺利得到：圆的面积也可以用梯形面积公式（0+C）×r÷2解决的结论。而借助三角形“形变积不变”的特点进行转化的演示，则让孩子们眼界大开，感叹“原来还可以这样做”。
梯形面积公式的神奇不止于此，它还可以解决圆环的面积问题以及等差数列求和的问题。
梯形的面积公式与等差数列求和公式在结构上是一致的，两者之间真的可以画等号吗？运用等差数列求和公式计算出的是木头的根数，而梯形的面积公式计算出的则是面积单位的个数，一个面积单位对应一根木头。从这个意义来说，用梯形的面积公式是可以计算出木头根数的。
如果将算式变形为（1+7）÷2×7，从数列的角度来看，（1+7）÷2求的是等差数列的平均数；而从梯形的角度来看，（1+7）÷2求的是中位线的长度。（1+7）÷2×7实际就都是在运用“一行有几个（木头或面积单位）×行数”来解决问题，从这个角度来看同样是可行的。
现在你是否和我一样，认为梯形的面积公式真的很神奇了呢？
这节课的教学主要想传递两个意图。
一是体会“由特殊到一般”的研究路径，之所以从“特殊”入手，是因为“特殊”具备的特点更多且更明显，更容易被我们所感知，从而发现某些特定的规律。这样的规律能不能被进一步推广呢？这就需要我们寻找到更一般的情形，进而得到更为“普适”的规律。在过程中体会“由特殊到一般”的研究路径是本课教学所要传递的核心意图。
本课的课题叫做“神奇的公式”，表面上是要体会梯形面积公式的神奇，其实我们真正要给学生传递的是要“构建知识间的彼此联系”，这是本课教学所要达成的第二个重要意图。我们要将学习的知识进行梳理，将零散的知识点串成线、织成网，如果这样的工作能够由学生自主完成，那将是一件何其美妙的事情啊！
坦率地说，这节课的学习并不轻松，学生需要一步一步地逐级而上，将思考逐步走向深入。学习过程中会有学生感觉“有难度”“想不明白”，但这并不妨碍他们在看到结果时或在他人提醒下的“恍然大悟”。在日常教学中，我们既需要开展夯实基础的“接地气”，也需要开拓眼界、提升素养的“开天窗”。
【结束语】
这节课的设计意愿源于与周周同学的一次简短对话，正是她与众不同的求圆面积的方法，让我有了设计一节梳理课的“冲动”。这段经历也在提醒我要留意触发灵感的瞬间，并努力将想法变为现实，否则一时迸发的灵感就会逐渐淡薄、消失。
2021/9/24