中考数学压轴题分析：两定两动型平行四边形存在性问题3

平行四边形的存在性问题与等腰三角形的存在性问题是常考的内容，非常古老。但是仍然还是有存在的价值。本文内容选自2020年黔东南州中考数学压轴题。难度很小。但也值得拿来练练手。巩固一下两类问题。

此类问题在《中考数学压轴题全解析》中，早有涉及。

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【中考真题】

（2020·黔东南州）已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在轴上找一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（3）点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点、坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】
题（1）根据待定系数法，先设顶点式再代入顶点坐标与另一点的坐标即可。也可以用顶点坐标求出另一交点再代入一般式，或者交点式皆可。
题（2）先求出点，坐标，设出点坐标，表示出，，，再分三种情况建立方程求解即可。当然，还可以根据两圆一线模型，得到点位置，再直接求也可以。

题（3）限定以为一边的平行四边形，那么情况就比较少了。而且点D为顶点，因此抛物线下方没有，只需要令为点D纵坐标的相反数代入即可。
【答案】解：（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入抛物线中，得，
，
抛物线的解析式为；

由（1）知，抛物线的解析式为，
令，则，
或，
，，
令，则，
，
，

设点，则，，
是等腰三角形，
①当时，，
或（点的纵坐标，舍去），
，
②当时，，
，
或，
③当时，，
，
，
即满足条件的点的坐标为、、、；

（3）如图，存在，

，
将线段向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点的对应点落在抛物线上，这样便存在点，此时点的对应点就是点，
点的纵坐标为4，
设，
将点的坐标代入抛物线中得，，
或，
，或，，
分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，
抛物线与轴的右边的交点的坐标为，且，
，
点的横坐标为或，
即，、，或，、，．