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数学运算备考指导

比较大小

这类题型往往不需要进行数字计算，只需要找到某个判断标准进行判断即可。常见的对比方法有以下几种。

(一)作差法

任意两数a、b,如果a - b>0,则a>b;如果a -bl,则a>b;如果a/bl,贝ab;如果a/b=l,则a=b

(二)作比法

当a、b为任意两正数时，如果a/b>l,则a>b;如果a/bl,贝ab;如果a/b=l,则a=b

(三)中间值法

对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作比法比较大小时，我们通常选取中间值^如果a> c，而 c>b，则 a>b。

(四)倒数法

相近两个正分数比较大小时，可通过比较分数倒数的大小来比较原分数的大小，倒数大者的值反而小。

(五)不等式法

根据(c+d)/(a+b)介于c/a和d/b之间，从而可以比较分子、分母反向变化的分数大小。

【例题1】请比较a、b的大小:a=1/(989+897),b=1/(889+798)()

A. a>b B. a

C.a = b D.不确定

【解析】答案为B。先比较两个数的分母，显然989 + 897>889 + 798。当分子都为1时，分母大的分数小于分母小的分数。故正确答案为B。

比例问题

比例问题是数学应用题中最常见的问题，应用面较宽，主要有两种基本类型：求比值和比例分配。

1.求值型问题

【例题1】甲读一本书，已读与未读的页数之比是3 : 4，后来又读了 33页，已读与未读的页数之比变为5 : 3。这本书共有多少页?()

A. 152 B.168

C. 224 D. 280

【解析】答案为B。设这本书共有x页，第一次已读3/7x，后来又读了 33页，已读的变为5/8x，可以建立等式：3/7x+33 = 5/8x解得 x=168。

【例题2】两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是3 : 1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是4 ： 1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少?( )

A.31 : 9 B. 7 : 2

C. 31 ： 40 D. 20 : 11

【解析】答案为A。根据题意得：

两个瓶子中酒精含量占溶液总量分别为：3/(3+1)=3/4,4/(4+1)=4/5。

将两个分数3/4和4/5化成分母相同的分数，即3/4=15/20,4/5 =16/20。

所以，两瓶子溶液混合，则溶液中酒精与溶液总量之比为31 : 40，那么，酒精与水的比为31 : 9，故选A项。

2.比例分配型问题

【例题1】有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个，为了使A堆中黑子占50%，B堆中黑子占75%，那么要从B堆中拿白子多少个到A堆?( )

A.12 B. 15 C. 20 D. 25

【解析】答案为D。要使A堆中黑子占50%,即黑、白子-样多，从B堆中拿到A堆的黑子应比白子多150个，设从B堆中拿白子x个，则拿黑子x+150个，则B堆还剩黑子400-(x+150)个，共有棋子

400 + 100-(2x+150)，有[400-(x+150)]/[400 + 100-(2x+150)]=75%，解得 x=25。所以要拿白子 25 个到 A 堆。

【例题2】一块试验田，以前这块地所种植的是普通水稻。现在将该试验田的1/3种上超级水稻，收割时发现该试验田水稻总产量是以前总产量的1.5倍，如果普通水稻的产量不变，则超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是( )

A. 5 : 2 B. 4 : 3 C. 3 : 1 D. 2 : 1

【解析】答案为A。设普通水稻的亩产量为x,超级水稻的亩产量为y,则所求为根据条件可y/x,

列方程1/3y+2/3x=. 5x，即 5x = 2y;，解得：y : x = 5 : 2，故选 A 项。

路程问题

路程问题也是实际应用题中常见的典型问题。路程问题涉及距离、速度和时间三者之间的关系：距离=速度×时间。主要有四种基本类型：相遇问题、追及问题、背向运动和逆行问题。

1.相遇问题

相遇问题亦称相向运动问题。两个物体以不同速度从两地同时出发，相向而行，经过若干时间后相遇。这样的问题叫做相遇问题。相遇问题的核心是“速度和”问题。

相遇问题的核心公式：

相距路程+(甲速度+乙速度)=相遇时间

(甲速度+乙速度)×相遇时间=相距路程

相距路程+相遇时间一甲速度=乙速度

相距路程=甲路程+乙路程

=甲速度×相遇时间+乙速度×相遇时间

=(曱速度+乙速度)×相遇时间 =速度和×相遇时间

【例题1】甲、乙两地相距40公里，某人从甲地骑车出发，开始以每小时30公里的速度骑了24分 钟，接着又以每小时8公里的速度骑完剩下的路程。问该人共花了多少分钟才骑完全部路程?( )

A. 117 B. 234 C. 150 D. 210

【解析】答案为B。由题意可知，前半段骑车的路程为：(24/60)×30=12(公里)，则剩下的路程为：40 - 12= 28(公里)。后半段的骑车时间为：28/8=3. 5(小时)，总时间为：24+3. 5×60 = 234(分钟)，故选B项。

【例题2】载重汽车每小时行45千米，小汽车的速度是载重汽车的1. 4倍。它们从相距162千米的两地同时出发，相向而行，如果出发时是8时15分，相遇时是几时几分?( ) A. 9点30分 B. 9点45分 C. 9点50分 D. 9点55分

【解析】答案为B。先求出小汽车的速度45 ×I. 4 = 63(千米/小时)，得出两车相遇时行驶的时间 162 + (45 + 63) = 1. 5(小时)，相遇时是9时45分。

2.追及问题

追及问题亦称同向运动问题。甲、乙两人以不同速度(乙快、甲慢)从两地同时出发，同向而行(甲在前，乙在后)，经过若干时间后，乙追上甲，这样的问题叫做追及问题。追及问题的核心是“速度差”的问题。

追及问题的核心公式：

追及路程÷(乙速度一甲速度)=追及时间

(乙速度一甲速度)×追及时间=追及路程

追及路程÷追及时间+甲速度=乙速度

追及路程=乙路程一甲路程

=乙速度×追及时间一甲速度×追及时间

=(乙速度一甲速度)×追及时间

=速度差×追及时间

【例题1】甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米?( )

A.14 B. 13 C. 19 D.16

【解析】答案选D项。甲对乙的追及速度差=28 - 24 = 4(千米/小时)，追及时间为4(小时)，则追及的距离为4×4 = 16(千米)，即两码头之间的距离。

【例题2】狗追狐狸，狗跳一次前进15分米，狐狸跳一次前进10分米。狗每跳4次的时间狐狸恰好跳2次。如果开始时狗离狐狸有300分米，那么狗跑( )分米才能追上狐狸。

A. 300 B.350 C. 400 D. 450

【解析】答案为D。依题意可知，狗跳15×4 = 60(分米)与狐狸跳10×2 = 20(分米)的时间相同。如果把狗跳4次的时间当作一个单位时间，则狗追上狐狸所需的时间为300+(60 -20) = 7. 5。在7.5单位时间里狗跳了7.5×4==30(次)，狗跑的路程为15×30 = 450(分米)。故选D项。

【例题3】姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走了 80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走 60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上了弟弟又转去找姐姐，碰上了姐姐又转去追弟弟，这

样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米?( )

A. 600 B. 800 C.1200 D. 1600

【解析】答案为A。此题将追及问题和一般路程问题结合起来，是一道经典习题。首先求姐姐多少时间可以追上弟弟，速度差= 60 -40 = 20(米/分)，追及距离=80(米)，所以，姐姐只要80 + 20 = 4(分钟)即可追上弟弟，在这4分钟内，小狗一直处于运动状态，所以小狗跑的路=150×4=600(米)。

3.背向运动

甲、乙两物体以不同速度从同一地点同时出发，背向而行，经过若干时间后，求甲、乙的相距路程。这样的问题叫做背向运动问题。

背向运动问题的核心公式：

相距路程÷(甲速度+乙速度)=行驶时间

(甲速度+乙速度)×行驶时间=相距路程

相距路程÷行驶时间一甲速度=乙速度

【例题】甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是( ) A.166 米 B.176 米 C.224 米 D. 234 米

【解析】答案为B。此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为x米/分，乙的速度为y米/分，则依题意可列方程：8x+8y= 400×3,x-y=6(速度差0.1米/秒=6米/分)

从而解得x=78，y=72。由y=72，可知，8分钟乙跑了 576米，显然距起点的最短距离为176米。

4.逆行问题

物体的逆行速度不但与物体本身运动的速度有关，而且还与阻碍的速度有关。

逆行问题的核心公式：

顺行速度=物体本来速度+水(风)速

逆行速度=物体本来速度一水(风)速

根据上面两个关系，我们可以指出如下两个关系：

物体本来速度=(顺行速度+逆行速度)÷2

水(风)速=(顺行速度一逆行速度)÷2

【例题】一条河的水流速度是每小时2千米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后逆流到达中游的乙地，共用6小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，从甲地到乙地相距12千米。求甲、丙两地的距离。( )

A. 21千米 B. 16千米 C. 24千米 D. 15千米

【解析】答案为C。设逆流速度为v，则顺流速度为2v,根据题意可知，2v-v= 2×2，即v=4。再

设从乙地到丙地的距离为s,根据题意可知，12/8 + s/8 +s/4 = 6,解得12，所以甲、丙两地的距离为 12 + 12 = 24(千米)。

行程问题一直都是热点，几乎每年都会考到，考察的难度也往往是所有运算题型当中最难的一部分。因此行程问题是大部分考生最为头疼的一个题型，但是，任何题目都有技巧，只要摸准了这些题的规律，可以按照相同的思路去解决。

那么，我们来看看对于行程问题我们该运用什么样的思路。

首先，我们来看行程问题的核心公式S=VT。这种等号一边是一个量，另一边是两个量乘积的公式，可以称之为比例型公式。这种公式有一个潜在的规律就是，不管题目怎么设置，路程、速度、时间这三个量总有一个是确定不变的，而另外两个量都是变的，只要找到公式当中的不变量，等量关系就找出来了，所以关键是找这个不变的量。

一般来说，在这三个量当中，由于往往涉及不同主体，因此速度大多时候是个变量，所以不变量基本上隐藏在路程和时间这两个量里面，两种情况分别如下。

第一，路程作为不变量。这种情况一般来说是比较好寻找的，我们拿一个之前的考题来举例：

【例题】有甲、乙、丙三人，甲每小时走80公里，乙每小时走70公里，丙每小时走60公里。现在甲从A处出发，乙、丙两人从B处同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇15分钟后，甲又与丙相遇。求AB两地的距离。( )

A.315公里 B.525公里

C.465公里 D.455公里

这是一个相遇问题，在这个题目中，三人速度都有，很明显是不一样的。我们知道，在相遇追及问题里，相遇距离就是两地之间的整个全程，不管是甲丙之间还是甲乙之间，都是这一个全程;也就是说，在这个题目中路程是潜在的不变量，变量是速度和时间。那么我们围绕路程这个等量关系列出两个表示路程的式子就可以解决：设甲乙相遇时间是T，那么甲丙相遇时间就是T+1/4，利用相遇公式有(80+70)T=(80+60)(T+1/4)。解得T=3.5,因此整个距离是525。

这是关于以路程为不变量的情况。

第二，时间作为不变量。这种情况可能更为隐蔽，有的学员很可能意识不到。我们试想，如果速度是变量，时间也是变量的话，那么路程必然是不一样的，所以在题目中如果提到了二人行驶的路程不一样，一般是在告诉大家时间是变量;还有有一种很隐蔽的说法就是“二人同时出发，在某点相遇”，这就是告诉我们二人所用的时间是相等的，可以完全拿时间做等量关系来列式。

【例题】小张和小王同时骑摩托车从A地向B地出发，小张的车速是每小时40公里，小王的车速是每小时48公里。小王到达B地后立即向回返，又骑了15分钟后与小张相遇。那么A地与B地之间的距离是多少公里?( )

A.144 B.136

C.132 D.128

在这个题目中，两个人的速度是不一样的，而且题目中给出“同时出发”“相遇”这样的字眼，所以时间一定是不变量。拿时间作为等量关系，则甲的路程是S+12，乙的路程是S-12，速度分别是48和40，那么用时间相等列式应该表示成：

，解得S=132。

以上两个简单的例子说明，我们在遇行程问题的时候，克服心理上的畏难情绪，按部就班地找到题目中的不变量，分别用另外两个量表示出来列在等式两边，就可以求出题目的设问。

图示法解复杂路程问题的思路：

甲乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行往乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车往甲地。80分钟后两人在途中相遇，张平达到甲地后马上折回往乙地，在第一次相遇后又经过20分钟张平在途中追上李明，张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去。当李明到达乙地时，张平追上李明的次数是（ ）次。

A. 5 B. 6 C. 4 D. 3

解析：答案是C.这是一道路程问题，没有给出路程和速度，属于难度较大的题目。我们以“甲乙两人路程与速度之间存在的关系”为切入点进行分析。在这里把以李明的步行速度作为标准量。

如上图所示：假设A点是两个人第一次相遇的地点；B点是两个人第二次追及的地点。

已知“李明从甲地到A点，步行了80分钟，从A点到B点步行了20分钟”，我们还知道：

张平从两人相遇的A点到甲地，再回头到B点共花费了20分钟（摩托车），而这段路程换成步行则需要 80×2＋20＝180分钟。也就是说相同的路程，摩托车与步行的时间比是20：180=1：9，反之速度比是9：1，即李明步行走完全程，张平骑摩托车将走完9个全程，所以张平追上李明的次数是4次。

A、B两地以一条公路相连。甲车从A地，乙车从B地以不同的速度沿公路匀速率相向开出。两车相遇后分别掉头，并以对方的速率行进。甲车返回A地后又一次掉头以同样的速率沿公路向B地开动。最后甲、乙两车同时到达B地。如果最开始时甲车的速率为x米／秒，则最开始时乙车的速率为（ ）。

A.4x米／秒 B.2x米／秒 C.0.5x米／秒 D.无法判断

解析：答案是B.本题没有路程、时间等关键因素，要求根据一个物体的速度求出另一个物体的速度，在2006年国考中属于难度系数比较大的题目，同样可以利用图示法来解决。如图所示，我们用红色线条表示以甲车的速度前进的路程，蓝色线条表示以乙车的速度前进的路程，假设相遇在C点，则从A到C是（甲车在）以甲的速度在走；从B到C是（乙车在）以乙的速度在走，题目中说“两车相遇后分别掉头，并以对方的速率行进”，可以看出：从C到A，再到B是（甲车在）以乙车的速度前进，同样，从C到B是（乙车在）以甲车的速度前进。

甲乙两车从出发到同时到达B地，两车所走的时间是相等的。相等的时间内，红色线条有一个AB长，但是蓝色线条有两个AB长，根据“时间等，速度比等于路程比”，可以推出：乙车的速度是甲车速度的2倍，即2x米／秒。

总结：

由上述分析可以看出，解决复杂路程问题时，画线段图是一种重要的解题方法。通过图示法将复杂的数量关系形象化、直观化，将有助于减少思索的过程，从而更快更准确地找到问题的突破口。

工程间题

计算有关工程的工作量、工作时间、工作效率的应用题叫做工程问题。一般不知道具体的工作总量，常常把“一项工程”、“一份稿件”、“修一条公路”等看作工作总量，用单位“1”表示，部分工作量就要用分之几”表示。工作总量定了之后，通常用“1/各自的时间”表示各自的工作效率，用“1/合作时间”表示工效和。

工程问题的特点是所给的某项工作常常不给出具体的数量。解答此类题的关键是把整体工程看作“1”，它表示整个工作总量，工作要n天完成，则工作效率为1/n，两组共同完成时的工作效率为各组单独工作效率之和：1/n1+1/n2。然后根据工作量、工作效率和工作时间这三个量的关系解题。

工程问题涉及的基本概念有：

工作量：工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数字“1”表示，也可以是部分工作量，常用分数表示。例如，工程的一半表示成1/2，工程的三分之一表示为1/3

工作效率:工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位:工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

工程问题的核心公式：

工作量=工作效率X工作时间;

工作效率=工作量÷工作时间;

工作时间=工作量÷工作效率;

总工作量=各分工作量之和。

【例题1】某项工程，小王单独做需20天完成，小张单独做需30天完成。现在两人合做，但中间小王休息了 4天，小张也休息了若干天，最后该工程用16天时间完成。问小张休息了几天?( )

A. 4 B. 4. 5 C. 5 D. 5. 5

【解析】答案为A。小王休息了 4天，该工程用16天时间完成，说明小王干了 12天。小王每天完

成1/20，12天可以完成工程的12/20 =3/5,则剩下的工程量为1-3/5=2/5，这部分工程量应由小张完成，小张每天完成1/30，则需要的天数为(2/5)÷(1/30)= 12(天)，而合干了16天，说明小张也休息了 4天。

【例题2】某水池装有甲、乙、丙三根水管，独开甲管12分钟可注满全池，独开乙管8分钟可注满全池，独开丙管24分钟可注满全池，如果先把甲丙两管开4分钟，再单独开乙管，问还有几分钟可注满水池?( )

A. 4 B. 6 C. 3 D. 5

【解析】答案为A。甲、丙两管共开4分钟，已经注入水池的水占全池的比例为(1/12+1/24)×4，结果为1/2。乙单独开注满全池的时间为8分钟，已经注入了1/2,显然只需4分钟即可注满。本题与前题类似，只是稍微复杂一些。

工程问题常考题型

（一）二人合作型

例题：

有甲、乙两项工程，张师傅单独完成甲工程需6天，单独完成乙工程需30天，李师傅单独完成甲工程需18天，单独完成乙工程需24天，若合作两项工程，最少需要的天数为：

A.16天 B.15天 C.12天 D.10天

（二）多人合作型

例题：

甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参与B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束。问丙队在A工程中参与施工多少天？

A.6 B.7 C.8 D.9

解析：本题答案选A。由题意可设甲、乙、丙每日工作量分别为6、5、4，丙队参与A工程x天。根据A、B工作量相同列方程，6×16+4x=5×16+4×（16-x），解得x=6。

工程问题中常用特值法，经常将工作量设为“1”，但是特值法应该灵活使用，这样是为了简化计算。

两人或多人合作后，有可能会出现配合不好，各自的工作效率均降低；配合默契，各自的工作效率均提高。解这类问题时，要注意前后工作效率的变化。尤其需要注意这时的三量关系变为：合作后总的工作效率×合作时间=合作完成的工作量。

（三）水管问题

进水、排水问题本质上是工程问题的一种。

例题：

同时打开游泳池的A、B两个进水管，加满水需1小时30分钟，且A管比B管多进水180立方米。若单独打开A管，加满水需2小时40分钟。则B管每分钟进水多少立方米？

A.6 B.7 C.8 D.9

解析：本题答案选B。由题意可知A管比B管每分钟多进水180÷90=2立方米，设B管每分钟进水x立方米，则A管每分钟进水（x＋2）立方米，依题意有90×（x＋x＋2）=160×（x＋2），解得x=7。

年龄问题

年龄问题是事业单位考试的常见题型，年龄问题的核心是大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。解答年龄问题的一般方法是直接运用代人法。

求解年龄问题应注意以下几点：

(1)两人年龄的差是不变的量。

(2)两个年龄的倍数关系是变化的量，回首过去，年龄变小，倍数变大；展望未来，年龄变大，倍数变小。

(3)每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量。

年龄问题的核心公式：

大年龄=(两人年龄和+两人年龄差)÷2

小年龄=(两人年龄和一两人年龄差)÷ 2

已知二人年龄，求几年前或几年后的大年龄是小年龄的几倍：

年龄差÷ (倍一1) =成倍时的小年龄

成倍时的小年龄一小的现年龄=几年后的年数

小的现年龄一成倍时的小年龄=几年前的年数

如果已知二人年龄之和及几年后大的是小的几倍，求现在二人的年龄各是多少：

几年后的二人年龄和÷ (倍+ 1) =几年后小的年龄

几年后小的年龄一几年后年数=现在小的年龄

二人年龄和一现在小的年龄=现在大的年龄

【例题1】祖父年龄70岁，长孙20岁，次孙13岁，幼孙7岁，问多少年后，三个孙子的年龄之和与祖父的年龄相等?( )

A. 10 B. 12 C. 15 D. 2

【解析】答案为C。长孙、次孙、幼孙现在的年龄和是20 + 13 + 7 = 40,如果设x年后三个孙子的年龄之和与祖父的年龄相等，则祖父的年龄增加了 x岁，而三个孙子的年龄和增加了 3x岁，故可列方程：70+x = 40 + 3x，解得 x=15。

【例题2】甲乙两人的年龄和是33岁，四年之后，甲比乙大3岁，问乙的年龄是多少岁?( )

A.18 B. 17 C. 16 D. 15

【解析】答案为D。

解法一：问题的关键即“年龄差不变”，四年之后甲比乙大3岁，也就是甲乙二人的年龄差是3岁。由于甲乙两人的年龄差并不随年龄的变化而变化，所以，甲乙两人现在的年龄差也是3岁。是个和差问题，则乙的年龄：(33 -3)/2 = 15(岁)。

解法二：此题也可采用代入法。假设乙的年龄是18岁，则曱的年龄是21岁，故甲乙两人的年龄和为39岁，这与题干矛盾，故A项错误。同理，B、C两项也是错误的，故选D项。

巧解年龄问题

年龄问题是指研究两人或者多人之间的年龄变化和关系的问题。考试中常常涉及两人或者多人年龄之间的倍数关系。常见的考查方式为：今年小宁8岁，妈妈32岁，那么再过多少年妈妈的岁数是小宁的2倍？下面讲解如何巧妙解答年龄问题。

年龄问题重要原则为：①任何两人年龄差不变；②任何两人年龄之间的倍数关系是变化的；③每过一年，所有的人都长了一岁。

上例中，今年小宁比妈妈小32-8=24岁，那么小宁与妈妈的年龄差永远为24岁。

当小宁从8岁长到12岁时，妈妈也长4岁，变为32+4=36岁。两人年龄的倍数由32÷8=4倍，变化到36÷12=3倍。

知识点一：如何解年龄问题

解决年龄问题的关键在于“年龄差不变”。一般说来，解决年龄问题需要从表示年龄间关系的条件入手理解数量关系，必要时可借助线段图和表格进行分析。主要的思考方式如下：

由差倍问题公式可得，小宁年龄为24÷（2-1）=24岁，即小宁24岁时，妈妈的年龄等于小宁的2倍，因此再过24-8=16年。

（2）因为行测考试中，数学运算均为选择题，对于表述直接的年龄问题，没有解题思路，或者计算比较繁琐时，可采用代入排除法。

例题1： 姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，当姐弟俩岁数和是40岁时，姐姐多少岁？

A.22 B.34 C.36 D.43

解析：“此题答案为A.两人年龄差为13-9=4岁，用线段图显示数量关系，如下图所示：

由图可知，如果从40岁中减去姐弟年龄的差，再除以2就得到弟弟的年龄，进而可求出姐姐的年龄，这相当于一个和差问题。

根据和差公式：弟弟的年龄为（40-4）÷2=18岁，则姐姐的年龄为18+4=22岁。

知识点二：多人之间的年龄问题

多人之间的年龄问题在行测考试中出现的频率略有增加，它主要考查多个人之间的年龄关系变化。解决此类题目的重点为规律③：每过一年，所有的人都长了一岁。

例题2： 父亲与两个儿子的年龄和为84岁，12年后父亲的年龄等于两个儿子的年龄之和，请问父亲现在多少岁？

A.24 B.36 C.48 D.60

解析：此题答案为C.12年后，父亲与两个儿子的年龄和应该是84+12×3=120岁，将父亲12年后的年龄看做1倍，那么12年后父亲的年龄为120÷2=60岁，现在的年龄为60-12=48岁。

例题3： 甲、乙、丙、丁四人今年的年龄分别是32、24、22、18岁，那么多少年前甲乙的年龄和恰好是丙丁年龄和的2倍？

A.15 B.14 C.12 D.10

解析：此题答案为C.画出线段图，如下图所示。

可知，（32+24）－（22+18）=16为甲乙年龄和与丙丁年龄和之差。

当甲乙的年龄和恰好是丙丁年龄和的2倍时，设丙丁年龄和为1倍，则甲乙年龄和为2倍，则1倍为16÷（2-1）=16，即丙丁当时的年龄和为16岁。

增加的年龄和为22+18-16，因此过了（22+18-16）÷2=12年。

知识点三：三等分结论

例题4： 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将50岁。”那么，甲现在（ ）岁，乙现在（ ）岁。

解析：35、20.根据题意画出示意图，如下图所示：

当乙5岁时，甲的年龄等于乙现在的岁数，用线段AC表示，可知甲、乙二人年龄差等于线段BC；

甲、乙现在的岁数差等于EF，当乙的岁数等于甲现在的岁数（用线段DF表示），甲将50岁（用线段GI表示），此时二人年龄差等于线段HI.

因为年龄差是不变的量，所以BC=EF=HI.

根据图示，GI=5+BC+EF+HI=5+3BC，所以甲乙二人的年龄差为：（50-5）÷3=15岁，乙现在的岁数是15+5=20岁。甲现在的岁数是20+15=35岁。

解析：

知识点四：年龄推理题

年龄推理题在行测考试中出现较少，它需要考生通过寻求年龄间的特殊情况来得到突破口，从而最终得出答案。

常见的特殊情况为：经过了N年，所有人增长的岁数和不是N的倍数，这说明N年前有人没有出生，从而可直接求出该人的年龄。

例题5： 小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4岁，今年全家年龄的和是72岁，10年前这一家全家年龄的和是44岁。今年父亲多少岁？

A.33 B.34 C.35 D.36

解析：此题答案为B.一家人的年龄和今年与10年前比较增加了72-44=28岁，而如果按照三人计算10年后应增加10×3=30岁，只能是小芬少了2岁，即小芬8年前出生，今年是8岁，今年父亲是（72-8+4）÷2=34岁。

利润问题

利润问题的基本概念：

毛利：是指其销售额减去生产成本后的结果，生产成本中不包括管理费用和研发开支。利润：是指企业一定时期内的经营成果，利润有营业利润、利润总额和净利润。对于一般商家来说，利润就等于商品的销售价减去商品的买进价。成本：是指企业在生产要素市场上购买和租用所需要的生产要素的实际支出。对于一般商家来说，成本就是商品的买进价。成本一般是一个不变的量，求成本是利润问题的关键和核心。利润率：利润和成本的比值，叫做商品的利润率。

利润问题的核心公式：

利润=销售价(卖出价)-成本;

利润销售价=利润/成本=(销售价-成本)/成本 =销售价/成本-1;

销售价=成本×(1+利润率)

【例题1】某公司向银行贷款，商定贷款期限是2年，年利率10%，该公司立即用这笔贷款买一批货物，以高于买入价的35%的价格出售，两年内售完。用所得收入还清贷款后，还赚了 6万元，则这笔贷款是()元。

A. 30 万 B. 40 万 C. 45 万 D. 50'万

【解析】答案为B。贷款利率=年利率X年数，货物出售总额=贷款本息+剩余金额。依题意，设这笔贷款x万元，则x(l + 35%)=x(l + 2×10%)+6,解得x = 40,故选B项。

【例题2】一件商品如果以8折出售，可以获得相当于进价20%的利润率，那么如果以原价出售，可以获得相当于进价多少的利润率?( )

A. 25% B. 35% C. 45% D. 50%

【解析】答案为D。如果商品的原价为1，销售价是8折，那么8折的销售价为1×0. 8 = 0. 8,以这个价格销售可获得20%的利润率，依据公式：成本=销售价÷ (1 +利润率)，求出商品的成本为0. 8÷(1+0.2) =2/3，然后可根据利润率=(售价一成本)+成本，求出以原价格销售时的利润率=(1 -2/3) ÷ (2/3)=50%。

【例题3】一批商品，按期望获得50%的利润来定价，结果只销售了 70%的商品，为了尽早销售剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售，这样获得的全部利润是原来的期望利润的82%，问打了多少折扣?( )

A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折

【解析】答案为C。题中没有给出具体数量，且数量关系错综复杂，不易理清头绪。我们不妨把这批商品的总量看作单位“1”，给这批商品的成本设一个具体数值。如假设这批商品的成本为100元(只要是100的倍数均可使问题变得简单)：

如果按期望获得50%的利润全部卖完，所卖的总钱数应是：

100×(1 + 50%) = 150(元)

按期望利润卖掉70%的商品所得的钱数为：

150×70% = 105(元)

卖掉70%后，剩下的商品按期望利润可卖的钱数为：

150×(1 -70%) = 45(元)

实际所得的利润为：

100×50%×82% = 41(元)

实际卖得的总钱数为：

100 + 41 = 141(元)

按期望利润卖掉70%后，剩下的商品实际卖得的钱数为：

141 -105 = 36(元)

卖掉70%后，剩下的商品按定价打的折为：

36÷45 = 80%=8 折

【例题4】甲、乙两种商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，两种商品都按定价的90%出售，结果共获得利润27. 7元，那么甲种商品成本是多少元?( )

A. 120 B. 130 C. 140 D. 150

【解析】答案为B。设甲商品成本为x元，则乙商品的成本为200-×元，列出方程：[x×130% +(200-x)×120%]×90%=200 + 27.7,解得 × = 130。

植树问题

植树问题是研究植树地段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系的应用题。主要有两种基本类型:无封闭问题和有封闭问题。

关于植树问题，主要有以下几种关系：

(1)若题目中要求在植树的路线两端都植树，则棵数比段数多1。即：

棵数=段数+ 1 =全长+株距+ 1

(2)如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数与段数相等。即：

棵数=段数=全长+株距

(3)如果植树路线的两端都不植树，则棵数=段数-1。即：

棵数=段数-1 =全长+株距-1

【例题1】有一条路，现在想在路的一边立电线杆，已知路长为100米，且每隔10米立一根电线杆,那么一共需要多少根?( )

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【解析】答案为C。这是一道无封闭的栽树问题，由题意可知，按每隔10米计算，100米路长可以分为10条线段,在每条线段的后端立一根电线杆,再在路的起点处也立一根电线杆,共计11根电线杆。

【例题2】一个湖泊周围长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽1棵柳树，每两棵柳树中间栽1棵杨树，湖泊周围栽了柳树和杨树共多少棵?( )

A.1200 B.800 C.600 D. 300

【解析】答案为A。湖泊周围栽的柳树和杨树各为1800÷ 3 = 600(棵)，湖泊周围栽树，这是封闭曲线植树问题。题目告诉我们每隔3米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽1棵杨树，说明每两棵杨树之间的间隔也是3米，两种树都是栽在长1800米的湖泊周围，也就是植树的总长也是相等的，根据：植树总长÷间隔=棵数，可求两种树的棵数。两种树的棵数是相同的。

【例题3】某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的2倍还多6000米。若每隔4米栽一棵，则少2754棵;若每隔5米栽一棵，则多396棵，问共有树苗( )

A. 8500 棵 B. 12500 棵 C. 12596 棵 D. 13000 棵

【解析】答案为D。设两条路共有树苗：c棵，根据栽树原理，路的总长度是不变的，所以可根据路程相等列方程：(×+2754 - 4)×4 = (× -396 -4)×5(因为2条路共栽4排，所以要减4),解得× = 13000,故选D项。

公务员考试中植树问题难度不大，只要利用对应的公式便可以很容易得出答案。以下是总结出来的植树问题所用到的公式以及如何应用。

一、植树问题的类型与对应公式

例如：在一周长为100米的湖边种树，如果每隔5米种一棵，共要种多少棵树？这样在一条“路”上等距离植树就是植树问题。在植树问题中，“路”被分为等距离的几段，段数=总路长÷间距，总路长=间距×段数。

根据植树路线的不同以及路的两端是否植树，段数与植树的棵数的关系式也不同，下面就从不封闭路线的植树和封闭路线植树来一一说明。

（1）不封闭植树：指在不封闭的直线或曲线上植树，根据端点是否植树，还可细分为以下三种情况：

①两端都植树

如上图，两个端点都植树，树有6棵，段数为5段，即有植树的棵数=段数+1，结合段数=总路长÷间距，则：棵数=总路长÷间距+1，总路长=（棵数－1）×间距。

②两端都不植树

如上图，两个端点都不植树，可知植树的棵数=段数－1，结合段数=总路长÷间距，则：棵数=总路长÷间距－1，总路长=（棵树+1）×间距。

③只有一端植树

如上图，只有一个端点植树，可知植树的棵数=段数，结合段数=总路长÷间距，则：棵数=总路长÷间距，总路长=棵数×间距。

（2）封闭植树：指在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。

所以棵数＝总路长÷间距，总路长=棵数×间距。

为方便记忆，将植树问题的公式归纳如下表：

二、植树问题解题流程

例题1： 圆形溜冰场的一周全长150米。如果我们沿着这一圈每隔15米安装一盏路灯，一共需要安装几盏路灯？

A.11 B.10 C.9 D.8

解析：此题答案为B。圆形溜冰场一周，说明是封闭植树型。 〔判断类型〕

棵数即路灯盏数=总路长÷间距=150÷15=10。 〔套用公式〕

例题2： 从图书馆到百货大楼有25根电线杆，相邻两根电线杆的距离都是30米，从图书馆到百货大楼距离是多少？（图书馆和百货大楼门口都有一根电线杆）

A.750 B.720 C.680 D.700

解析：此题答案为B。“图书馆和百货大楼门口都有一根电线杆”，说明是“两端都植树”型。 〔判断类型〕

要求“图书馆到百货大楼”的距离，即求总路长。根据棵数=总路长÷间距+1，有总路长=（棵数-1）×间距=（25-1）×30=720米。〔套用公式〕

例题3： 两棵柳树相隔165米，中间原本没有任何树，现在这两棵树中间等距种植32棵桃树，第1棵桃树到第20棵桃树间的距离是：

A.90米 B.95米 C.100米 D.前面答案都不对

解析：此题答案为B。“现在这两棵树中间等距种植32棵桃树”，说明是“两端都不植树”型。 〔判断类型〕

现不知道桃树与桃树之间的距离，因此需要先求间距。根据棵数=总路长÷间距-1，有间距=总路长÷（棵数+1）=165÷（32+1）=5米。 〔套用公式〕

那么第1棵到第20棵间的距离为5×（20－1）=95米。

方阵问题

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

方阵问题核心公式：

方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)

方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+1

方阵外一层总人数比内一层总人数多8

去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2 - 1

【例题1】学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?( )

A. 256 人 B. 250 人 C. 225 人 D. 196 人

【解析】答案为A。方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可知，每边人数=四周人数+ 4 + 1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数为60 ÷ 4 + 1 = 16(人)，整个方阵共有学生人数16×16 = 256(人)。

【例题2】小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是( )

A. 1元 B. 2元 C. 3元 D. 4元

【解析】答案为C。设当围成一个正方形时，每边有硬币x枚，此时总的硬币枚数为4(x-1)，当变成三角形时，则此时的硬币枚数为3(x+5 -1),由此可列方程4(x-l)==3(x+5-1),解得x=16，总的硬币枚数为60,则总价值为3元。

浓度和配比问题

一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量。放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题。在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是事业单位数学运算中的一个重要内容。

浓度和配比问题的核心公式：

溶质在某温度下达到饱和时，溶质、溶剂和溶液质量比等于S : 100 : (S+100)，称S为该温度下溶质的溶解度，单位为克。

溶解度=溶质质量/溶剂质量×100%。

溶液浓度=溶质质量/溶液质量×100%。

【例题】要配制每100克含盐量17. 5克的盐水7千克，需要食盐多少克?()

A.125 B. 1205 C. 1225 D. 0.125

【解析】答案为C。100克盐水含盐17. 5克，故1千克盐水中含盐175克，7千克盐水含盐175X7 = 1225(克)。

时间问题

时间问题的数量关系：

(1)星期。一个星期以7天为周期，不断循环。

(2)各月天数。1～6月除2月特殊外，奇数月31天，偶数月30天;7～12月出现特殊情况：7月、8月为31天，9月30天，10月31天，11月30天，12月31天，这是历史遗留下的结果。

(3)闰年。在公历纪年中，有闰日的年份叫闰年，一般年份为365天，闰年为366天。平常年份每年为365天，二月为28天；闰年为366天，二月为29天。

闰年的计算方法是公元非世纪年的年数，可以被4整除，即为闰年;世纪年被100整除而不能被400整除为平年，被100整除也可被400整除的为闰年。如2000年是闰年，而1900年不是。

(4)时钟。时钟共有时、分、秒三个指针，每个指针都是以60为进制。从角度看，整个指针共为 360度，可以被均勻地分为12份，每份30°，在一定的时间，三个指针会形成不同的角度，都为我们解题提供了一定的条件，所以要注意观察，熟练掌握，迅速解题。

【例题1】某一天小张发现办公桌上的台历已经有7天没有翻了，就一次翻了7张，这7天的日期加起来，得数恰好是77。问这一天是几号?( )

A.14 B. 15 C. 16 D. 17

【解析】答案为A。7天加起来数字之和为77，则平均数11这天正好位于中间，答案由此可推出。

【例题2】已知昨天是星期一，那么过200天以后是星期几?( )

A.星期一 B.星期二

C.星期六 D.星期四

【解析】答案为C。在解这种类型的题目时，应该注意到其基本原理是一个星期以7天为周期，不断循环。已知昨天是星期一，今天是星期二。先求200天里有多少个7天，200÷7＝28……4，故有28个7天，还剩4天，所以200天后是星期二开始过4天之后的日期，即星期六。

【例题3】3点半时，分针和时针组成的锐角是多少度?( )

A. 90 B. 75 C. 85 D.80

【解析】答案为B。钟表一圈均分为12份，每份30°，三点半时时针在3. 5处，分针在6处，所以二者的夹角为(6-3. 5)×30°＝75°。