​挖掘三点共线向量等式所隐藏的两个结论 简解一道向量题

简解一道向量题

浙江省平阳中学        洪一平

甘肃省兰州市       王 冰

湖北省阳新县高级中学        邹生书

【编者按】浙江省平阳中学洪一平老师在高中数学解题交流二群里给出了一个解法（下文解法1），甘肃省兰州市王冰老师私下里给编者分享了他的一个简解（下文中的解法5），受两个老师的解法启示，编者对该题的解法作了一点探究，与读者朋友交流分享，不妥之处敬请批评指正。

分析：解决本题的关键是对向量等式ABsinA+ACsinC=AQ所隐含的信息的挖掘和利用。挖掘信息的多少及质量直接影响解题的繁与简。你能直接从这个向量等式得到哪些结论？怎样挖掘这个向量等式所隐藏的性质或内在联系？题根在哪里？也就是说问题的本源在哪里？

思路一  对已知向量等式两边点乘某个向量实施数量积运算入手求解

解法1：对已知向量等式两边平方+三角函数和差化积 

洪一平老师  提供

  解法2：对已知向量等式两边平方+余弦定理+面积公式

解法3：对已知向量等式两边点乘向量BC求解

读者朋友，对已知向量等式两边点乘向量AC或向量AQ试试，看看可以得到什么？能否将解法进行到底？

思路二  从题根三点共线的充要条件入手求解

解法4：从平面向量共线定理和平面向量基本定理入手求解

如果熟知三点共线向量等式的两个结论，则上述解法4可以优化。

解法5：直接运用三点共线向量等式的两个重要结论求解