初二奥数精讲——第14讲 相似（一）
本讲适用于初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。
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一、知识点解析
1. 基本知识
如果一个图形，按一定的比例扩大或缩小，然后通过适当的平移、旋转、对称变换，可使之与另一个图形重合，则称这两个图形是相似的。由一个图形变成与它相似的图形时，有如下的不变量：
（1）对应线段的比不变；
（2）对应角的大小不变；
（3）线段平行、垂直的关系不变；
（4）点共线与线共点的关系不变。
与面积有关的基本结论：
等积定理：等底等高的两个三角形面积相等，
面积比定理：等底（高）的两个三角形面积的比等于它们对应高（底）的比，两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方。
共角定理：共角（角相等或互补）的两个三角形的面积比，等于夹这个角的两边的乘积的比。
共边定理：共边的两个三角形的面积比，等于这边所对顶点到这边的距离比，也等于这边所对顶点到它们的连线（或延长线）与这边的交点的距离比。
2. 基本方法
对于线段成比例的问题，常用如下一些方法：
（1）构造平行线，利用平行线截线段成比例定理。
（2）构造相似形，利用相似形的对应线段成比例。
（3）面积法，利用等底（高）的两个三角形的面积比等于对应高（底）的比。
3. 基本问题
证明三角形相似：寻找相等的对应角与成比例的对应边。
求线段（比）：将待求线段作为一个三角形的边，通过三角形相似建立比例关系。
证明恒等式：将等式转化为比例式，然后利用相似三角形建立比例关系。
求面积（比）：利用相似关系或者利用共边（高）三角形将面积比转化为线段比。
求角度：将待求的角作为一个三角形的内角，通过三角形相似建立角的等量关系。
证平行垂直：通过相似三角形发现有关角的关系，由此计算有关线的夹角。
这部分主要考察学生对相似的了解及掌握。相似是几何部分的重要工具，这部分题型种类繁多，会与其他知识点混合在一起考察，需要一定的空间想象能力和知识基础，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题
例1
分析：∠A是公共角，所以要证明这两个三角形相似，只需证 对应角相等，或证夹∠A的两边对应成比例。由于“高”可产生相似三角形，从而得到所需要的的比例关系。
证明：
例2
如图，已知D是△ABC的边AB上一点，AD:DB=1:2，∠A=45°，∠ BDC=60°，求证： △CBD ∽ △ABC.
分析：目标的两个三角形有公共角∠B，所以只需证另一对角相等或夹∠B的两条边对应成比例，条件给出了两个特殊角，而能够发挥这两个特殊角作用的是直角三角形，所以应添加辅助线构造出含这两个角度的直角三角形。
解答：
例3
如图，过△ABC的顶点B和C分别作AB、AC的垂线BD与CD，两线交于D，由C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F。求证：△ACE∽△ABC.
例4
如图，设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，且
. 若∠BAD+∠BCA=180°，AB=6，AC=5，AD=4，求BC的值。
例5
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD、AE分别为△ABC的内角与外角的平分线交BC和BC的延长线于D、E.求证：AB2：BE2=CD：CE.
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