灵活运用基本图形

先来看两个简单的命题：

命题1：三角形的重心将三角形的中线分为2:1的两部分

分析：如图，AD、BE、CF为△ABC三边上的中线，则其交点G即为△ABC的重心，我们只需证得AG：GD=2:1即可。注意灵活运用中点，我们倍长GD，易得平行四边形GBHC，再由平行易得AG=GH，从而结论得证。这里只提供了一种思路，方法还很多，具体同学们可以自行证明。

命题2：一边上的中线等于这条边一半的三角形是直角三角形。

分析：如图，AD=BD=CD，则∠1=∠B，∠2=∠C，易由三角形内角和得证。事实上，这个结论是“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”的逆命题，教材上没有给出来，证明过程很简单。

在此基础上我们来看一道综合题：

分析：此题图形并不复杂，就是三角形+三条中线+两条平行线，这样逐步增加背景深化，特点在于给出了全新的定义“趣味三角形”。第一问很简单，在等腰三角形的特殊背景下，作底边的高，根据勾股定理计算即可。下面来分析下第二问和第三问。

第二问很容易猜想BE和CF的位置关系是垂直，问题是如何得证？题目只给了趣味三角形的条件，即AD=3/2BC。我们将重心G标出来，很容易注意到前面命题1我们得到的结论，GD=1/3AD，再根据条件AD=3/2BC，易得GD=1/2BC，这就是前面命题2的结论。就此第二问得证。

第三问要更为复杂些，难度在于所谓的“趣味三角形”只是定义了一组边和对应边上的中线的关系即可，这里就存在不确定性，需要讨论。此外，增添的两条平行线及平行线间的距离又如何运用亦是解决这一问需要思考的问题。此问留给有兴趣的同学思考，参考答案18或15或12.

此类问题一般而言前面的问题都会给后面的问题做铺垫，希望同学们能在灵活运用基本图形、基本结论及所给条件的同时，注重思考解题思路、方法的延续性。