跳出问题看问题——以一道二次函数综合题为例

很多时候数学题的困难在于我们没能有效地抓住问题的核心要素，发现问题考察的本质，进而得到解决问题的方法。题目的条件只是表象，条件背后如何去运用是关键，我们需要跳出问题去看问题。下面以一个例子说明。

例：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D。设P为x轴上一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标。

分析：本题是一道二次函数的综合题，但事实上运用二次函数的内容有限，仅仅在求A、B、C、D四点坐标时有所运用，而求解P点坐标毫无疑问需要用到题中所给的条件，也即∠α的正切值，这就需要构造直角三角形才能加以利用。故而本题是一道典型地披着二次函数外衣的几何、三角函数综合题。

乍一看本题所给的条件∠DAO+∠DPO=∠α，tan∠α=4，直接的想法就是两角和的正切公式，但如何运用初中的方法去解决，这是问题。本题中要求点P的坐标，由于点P在x轴上，而A、B、C、D、O都是已知点，tan∠DAO也就是已知的，为2，如若能求出tan∠DPO，则点P的坐标也就出来了。

刚才谈到既然要求tan∠DPO，那就要构造直角三角形，而如果我们的眼界只盯着题目所给的图，我们是很难去解决这个问题的，毕竟我们还要找一个角等于∠DAO+∠DPO。我们考虑跳出这个含坐标系、抛物线的图，构造一个全新的直击问题本质的解决问题的图。

方法：我们构造如下的矩形，由下图我们可以很容易地得到所求的tan∠DPO等于下图中tan∠1=2/9，从而回到原图，得出点P的坐标。

这个构图我们充分利用了矩形及“M”型相似（有些书上称之为一线三等角）的性质，使得复杂的问题迎刃而解，希望同学们可以好好思考这个图是如何构造出来的。下面一组习题留作练习：

那么在原图上如何构图呢？下面两幅图给大家以供参考：

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