《測圓海鏡》之“識別雜記”等式說

《測圓海鏡》之“識別雜記”等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文介紹部分此等恆等式。

關鍵詞：勾股、李冶、測圓海鏡、圓城圖式

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於1248年，時為南宋淳祐八年。此書乃李冶主要之著作。

《測圓海鏡》卷一為“圓城圖式”，此圖為一勾股形，習慣上，兩直角邊為勾為股，以橫為勾，以縱為股，又習慣上，股長於勾，如“圓城圖式”所示，最大之勾股形為“天地乾”，加上內切圓後，再加上縱橫兩直徑、圓外接正方形，此等線與大勾股形相交於定點，從此等定點作平行或垂直大勾股形之勾股，即可得十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。

本文主要証明十五勾股形之相關恆等式，此等恆等式與十五勾股形﹝實際只有十二勾股形﹞三邊長有關，可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。至於《測圓海鏡》所用之專有名詞，可參閱以下三圖及〈總率名號〉。

以下為圓城圖式：

以下為圓城圖式二十二點圖及圓城圖式十五句股形圖：

總率名號

1.         天之地為通弦　　天之乾為通股   乾之地為通勾

2.         天之川為邊弦　　天之西為邊股   西之川為邊勾

3.         日之地為底弦　　日之北為底股   北之地為底勾

4.         天之山為黃廣弦　天之金為股     金之山為勾

5.         月之地為黃長弦　月之泉為股     泉之地為勾

6.         天之日為上髙弦　天之旦為股     旦之日為勾

7.         日之山為下髙弦　日之朱為股     朱之山為勾

8.         月之川為上平弦　月之青為股     青之川為勾

9.         川之地為下平弦　川之夕為股     夕之地為勾

10.         天之月為大差弦　天之坤為股     坤之月為勾

11.         山之地為小差弦　山之艮為股     艮之地為勾

12.         日之川為皇極弦　日之心為股     心之川為勾

13.         月之山為太虛弦　月之泛為股     泛之山為勾

14.         日之月為明弦　　日之南為股     南之月為勾

15.         山之川為

弦　　山之東為股    東之川為勾

《測圓海鏡》之〈識別雜記〉﹝《測圓海鏡細草》作〈識別雜紀〉﹞主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明﹝以下之a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長﹞。三邊皆有下標，下標表以上﹝1 至 15﹞之勾股形序號，a、b、c 表勾、股及弦，例如 a₁₂、b₁₂、c₁₂ 分別表以上 12 “日川心”之勾、股及弦長，其餘類推。序號亦表直角之位置，知一直角之位置，亦可決定一勾股形，例如 14，即可知該勾股形為“日月南”，其餘類推。

a、b、c 表一般勾股形之勾、股及弦。

以下條目﹝以楷書表示﹞皆源自《測圓海鏡》之〈識別雜記〉，有關專有名詞可參閱上圖及筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

1.         天之於日與日之於心同，心之於川與川之於地同，日之於心與日之於山同，故以山之川為小差，川之於心與川之於月同，故以月之日為大差。

“天之於日”指弦“天日”，其餘類推。參閱以上之圓城圖式二十二點圖及圓城圖式十五句股形圖。

其意指天日 = 日心，即  c₆ = b₁₂，

心川 = 川地，即  a₁₂ = c₉，

日心 = 日山，即  b₁₂ = c₇，

川心 = 川月，即  a₁₂ = c₈。

証明：

c₆ =

(a₁ + b₁ – c₁)， b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁)，所以 c₆ = b₁₂。

a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁)， c₉ =

(a₁ + b₁ – c₁)，所以 a₁₂ = c₉。

b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁)， c₇ =

(a₁ + b₁ – c₁)，所以 b₁₂ = c₇。

a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁)， c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁)，所以 a₁₂ =c₈。

其實 c₆ = b₁₂ = c₇。a₁₂ = c₉ = c₈。以上之勾股弦算法見筆者另文。

以“山川”為“小差”，即 c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

以“月日”為“大差”，即 c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

清‧李銳《測圓海鏡細草》案：

此小差謂皇極弦上股弦較。

即 c₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) ，b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁)。c₁₂ 是為皇極弦，b₁₂ 是為皇極股。

小差 = c₁₂ – b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)

= c₁₅。

李銳又案：

此大差謂皇極弦上勾弦較。

即 c₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) ，a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁)。a₁₂ 是為皇極勾。

大差 = c₁₂ – a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁)

= c₁₄。

2.         明勾

股相得，名為內率求虛積。明股

勾相得，名為外率求虛積。　虛勾虛股相得，名為虛率求虛積。

“相得”，相乘也。明勾指 14 “日月南”之勾 a₁₄，明股指 b₁₄ ；

股指 15 “山川東”之股 b₁₅，

勾指 a₁₅。

明勾×

股 = a₁₄ × b₁₅

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) ×

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)²。

上式等號右方是為虛積。明勾 ×

股所得之虛積是為內率虛積。

明股×

勾 = b₁₄ × a₁₅

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) ×

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)²。

明股×

勾所得之虛積是為外率虛積。

因為(c₁ – a₁)(c₁ – b₁) = ½(a₁ + b₁ – c₁)² ﹝見下文﹞，

所以

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)² =

(a₁ + b₁ – c₁)⁴ ----- (a)。

若 a₁= 320，b₁ = 600，c₁ = 680。

虛積=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)²

=

× 360× 80 × 240²

= 2160。

(a₁ + b₁ – c₁)⁴ =

× 240⁴= 2160。

所以 (a) 式成立。

3.         凡勾股和即弦黃和。

証明：

因為勾股和 =a + b。

又稱為“黃方”，簡稱為“黃”。“黃”亦為勾股內容圓直徑。若 r 為內容圓半徑，則：

2r =

=

=

=

=

﹝以句股定理化簡﹞

= a + b –c 。

《測圓海鏡細草》李銳案：

弦和較曰黃，亦曰“黃方”，即內容圓徑也。

故 a + b – c 亦為“黃”，注意“黃方”與正方形無涉。

弦黃和 = a + b – c + c = a + b =勾股和。証畢。

a + b– c 之 a + b是為“和”，即“勾股和”，“較”指勾股和與弦之較。

凡大差即股黃較。

証明：

股黃較 = b₁ – (a₁ + b₁– c₁) = b₁ – a₁ – b₁+ c₁ = c₁ – a₁ = 大差。証畢。

又天坤=股黃較 = c₁ – a₁ = 大差。

凡小差即勾黃較。

証明：

勾黃較 = a₁ – (a₁ + b₁– c₁) = a₁ – a₁ – b₁+ c₁ = c₁ – b₁ = 小差。証畢。

又地艮 = 勾黃較 =c₁ – b₁ = 小差。

4.         凡大差股小差勾相乘為半段徑冪。

証明：

大差股=c₁ – a₁，小差勾=c₁ – b₁，相乘得：

(c₁ – a₁)(c₁– b₁) = c₁² – c₁b₁– a₁c₁ + a₁b₁。

“冪”指平方，“徑冪”指勾股內容圓直徑之平方，即 (a₁ + b₁ – c₁)²，“半段”即乘以

。 注意勾股定理：a² + b² = c²。

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁² + b₁² +c₁² – 2c₁b₁– 2a₁c₁ + 2a₁b₁)

=

(2c₁² – 2c₁b₁– 2a₁c₁ + 2a₁b₁)

= c₁² – c₁b₁– a₁c₁ + a₁b₁。

即 (c₁ – a₁)(c₁– b₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

上式即“大差股小差勾相乘”，証畢。以上乃《測圓海鏡》之重要公式。

大差勾小差股相乘亦同上。

大差勾屬 10 天月坤之勾股形，小差股屬 11 山地艮之勾股形。

大差勾為 a₁₀，小差股為 b₁₁。

其意指  a₁₀ × b₁₁ =

(c₁ – a₁) ×

(c₁ – b₁) = (c₁ – a₁)(c₁ – a₁)。

依上題即得 (c₁ – a₁)(c₁– b₁) = c₁² – c₁b₁– a₁c₁ + a₁b₁。

所以大差勾小差股相乘亦得上式。

虛勾乗大股得半段徑冪。

“虛勾”指太虛勾 a₁₃，即 a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大股是為最大之股 b₁，亦即天地乾之股。“虛勾乗大股”即：

(c₁ – a₁)(c₁– b₁) × b₁ = (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)=

(a₁ + b₁ – c₁)²。

見前兩題之式。

虛股乘大勾亦同上。

b₁₃ =

(c₁ – a₁)(c₁– b₁) 是為虛股。“虛股乘大勾”即：

(c₁ – a₁) (c₁– b₁) × a₁ = (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)=

(a₁ + b₁ – c₁)²。

見前數題之式。

　邊股

股相乘得半徑冪。

邊股= b₂ =

(c₁ + b₁ – a₁)，

股 = b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) 。

邊股×

股

= b₂ × b₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)[b₁² –(a₁ – c₁)²]

=

(c₁ – b₁)[ b₁² –a₁² – c₁² + 2a₁c₁]

=

(c₁ – b₁)[ b₁² –a₁² – a₁² – b₁² +2a₁c₁]

=

(c₁ – b₁)[ – 2a₁²+ 2a₁c₁]

=

(c₁ – b₁)2a₁(c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁– b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²。

最後之式是為半徑冪。

明勾底勾相乘亦同上。

明勾 = a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)，底勾 = a₃ =

(a₁ – b₁ + c₁) 。

明勾 × 底勾 = a₁₄ ×a₃

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) ×

(a₁ – b₁ + c₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ – b₁ + c₁)

=

(c₁ – a₁)[a₁ + (b₁ – c₁)][a₁ – (b₁ – c₁)]

=

(c₁ – a₁)[a₁² –(b₁ – c₁)²]

=

(c₁ – a₁)[a₁² –b₁² – c₁² + 2b₁c₁]

=

(c₁ – a₁)[a₁² –b₁² –a₁² – b₁²+ 2b₁c₁]

=

(c₁ – a₁)[– 2b₁² + 2b₁c₁]

=

(c₁ – a₁) 2b₁(c₁ – b₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁– b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²。

最後之式是為半徑冪。

　黃廣股黃長勾相乗得徑冪。

黃廣弦之股是為黃廣股 = b₄ =

(a₁ + b₁ – c₁)，

黃長弦之勾是為黃長勾 = a₅ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

黃廣弦 × 黃長勾 = b₄ × a₅ =

(a₁ + b₁ – c₁) ×

(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)²。

最後之式是為徑冪。

髙股平勾相乗得半徑冪。

日山下髙弦之股是為髙股 b₇ =

(a₁ + b₁ – c₁)，

月川上平弦之勾是為平勾 a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

髙股× 平勾=b₇ × a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) ×

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²。

最後之式是為半徑冪。

　明弦明股併與

弦

勾併，相乘得半徑冪。

明弦 c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)，

明股 b₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

明弦明股併 = c₁₄ + b₁₄

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[1 +

] ------------- (1)。

弦 = c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) ，

勾 = a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

弦

勾併 = c₁₅ + a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[1 +

] -----------(2)。

(1) (2) 式相乘

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[1 +

](c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[1 +

]

=

(c₁ – a₁) (c₁ – b₁) (b₁ – c₁ + a₁)²(c₁ + a₁)(c₁ + b₁)

=

(c₁² – a₁²) (c₁² –b₁²) (b₁ – c₁ + a₁)²

=

× b₁² × a₁²(b₁ – c₁ + a₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)²。

最後之式是為半徑冪。

明弦明勾併與

弦

股併，相乘亦同上。

明弦 c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)，

明勾 a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

明弦明勾併 = c₁₄ +a₁₄

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) [1 +

]。

弦 = c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) ，

股 = b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

弦

股併 = c₁₅ +b₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[1 +

]。

相乘 =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) [1 +

](c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[1 +

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ + a₁)(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ + b₁)

=

(c₁² – a₁²) (c₁² –b₁²) (b₁ – c₁ + a₁)²

=

× b₁² × a₁²(b₁ – c₁ + a₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)²。

最後之式是為半徑冪。

　髙弦平弦相乘為一段皇極積。

髙弦  c₇ =

( a₁ + b₁ – c₁) ，平弦 c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

相乘 = c₇ × c₈ =

( a₁ + b₁ – c₁)²。

皇極積 = 皇極股 × 皇極勾 = b₁₂× a₁₂

=

(a₁ + b₁ – c₁) ×

(a₁ + b₁ – c₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁)²。

所以髙弦、平弦相乘 = 皇極積。

　明勾

股相乘倍之為一段太虛積。

明勾 = a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)，

股 = b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

相乘倍之 = 2a₁₄ × b₁₅

= 2 ×

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) ×

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁)²(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁)⁴。

太虛勾 = a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

太虛股 = b₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

太虛積 = 太虛勾 × 太虛股= a₁₃ × b₁₃

=

(a₁ + b₁ – c₁)² ×

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

( a₁ +b₁ – c₁)⁴ 。

所以明勾

股相乘倍之 = 太虛積。

明股

勾相乘亦同。

明股 = b₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)，

勾 = a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

相乘倍之 = 2b₁₄× a₁₅

= 2 ×

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) ×

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁– c₁)²

=

( a₁ +b₁ – c₁)⁴ 。

所以明股

勾相乘倍之 = 太虛積。

以下為《測圓海鏡細草》之〈識別雜紀〉首頁：