初中的将军饮马，单垂，双垂辅助线模型什么鬼？就长这个鬼样子

hello，大家好。咱们又见面了，我就是传播知识传播爱的吴老师。

初中几何图形中的辅助线做法可以说是中考中的重点，难点和热点，往往如何添加合适的辅助线孩子们经常是一头雾水，其实还是本质上对常见的数学模型不够熟悉，只有真正的吃透辅助线的做法和一些基本的几何模型，解题的时候才能有文思泉涌，如有神助。

初中的几何变换强调的是以动态思想去处理静态几何问题，初中数学几何变换主要有三大类：平移，翻折和旋转。而往往辅助线的添加是建立在这三大类几何变换上，比如我们这次会讲到的将军饮马模型，角平分线模型等等。

一：将军饮（yìn）马模型（“饮”读第四声，让马喝水的意思）

历史典故：据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？提起路线最短的问题，大家知道：连结两点之间所有线中，最短的是线段。这个题中马走的是一条折线。这又该怎么办呢？

解决办法：那聪明的海伦是这样解决的

首先他任意选取A,B两个定点中的一个，假设选取的为B点。

然后过B点作动点P所在直线的对称点B'。

最后连接对称点B'和A点与直线的交点就是所求点。

解决思路：同侧点转化为异侧点，再利用两点之间线段最短解决问题。

推导过程：通过构造对称点，就相当于把之前的折现给它拽直了，转化成直线问题。由对称性质我们知道，PB=PB'。

∴PA+PB=PA+PB'>=AB',当P,A,B三点共线时取等。

例题：大家可以动手做一做

以上就是将军饮马模型的基本图形，而关于将军饮马模型的变形图形实在是太多了，接下来我们拓展一种比较常见的变形图形：

问题背景：假设我现在比较任性，从A点骑着马儿，先去OM这条河上的c点，让马儿喝口水，然后在骑着马去ON这块草坪上D点让马吃过口草，最后再回到B点，问怎样走能够使得路径最短？

解决思路：分别过定点A,B做两条直线的对称点A',B'，然后连接两对称点，与直线OM和ON的交点C,D就是所求点。

所以我们可以总结将军饮马类题型的辅助线做法特点：

做定点关于动点所在直线的对称点，

几个动点就做几次对称。

二：角平分线的辅助线做法

模型一：双垂模型

辅助线思路：当题干中角平分线上有一点向一边作垂线，可以选择再做一条垂线，构造双锤模型。

例题赏析：如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2

模型2：截取等长造全等

辅助线思路：在角的两边截取相等的线段构造全等三角形。

例题赏析：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B． 求证：AB=AC+CD． 

模型三：单垂模型

辅助线思路：当角平分线上有垂线，并且垂足在角平分线上，一般延长垂线构造单垂模型。

例题赏析： 如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.

模型四：角平分线+平行线→等腰三角形 

辅助线思路：过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥OB，交OA于点E，则EO=EP.

在整个初中阶段，几何类综合题目当题干中给出角平分线的时候，如果需要添加辅助线，基本上99%都是上面总结的4种辅助线添加，根据题目条件灵活选用即可。

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