为什么不能一次走遍哥尼斯堡的7座桥

数学的快乐

到底有多简单

今天，8岁表妹问了一个问题：

看到这种类似1+1=？的问题，超模君几乎不用思考就已经知道答案。

但为了体现让表妹系统的理解知识，所以我决定......

发生在哥尼斯堡的故事

18世纪的哥尼斯堡（如今是俄罗斯的加里宁格勒），是一座位于普累格河上的城市，河上有两个小岛，有七座桥把河中两个岛及岛与河岸连接起来。

（超模君随意临摹的作品）

还有其他灵魂画手的杰作：

由于当地的生活节奏慢，人们总是有很多时间来到桥上一边散步，一边讨论某些很学术的问题，比如说：

还有：

而最最最让他们苦恼的问题是：怎么样才可以一次走过七座桥，且每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

当时，数学帝欧拉正在哥尼斯堡内担任教授。有几个大学生得知这个消息后，便连忙向他请教这个问题。

和大多数普通人的做法一样，欧拉一开始也只是在暴力求解。

试过这样的：

（暴力求解1）

也试过这样的：

（暴力求解2）

为了能破解走法，甚至还想请市长弄多一座桥：

（暴力求解3）

但尝试了无数次走法之后，他惊呆了：做不出来！

在接下来很长的一段时间里，包括欧拉在内的众多数学狂热者都对这个七桥问题束手无策。对不起，此题无解

俗话说：男人三十是一道分水岭。而欧拉紧紧地把握住机会，提前一年就跳了过去。

1736年，29岁的欧拉便向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，里面的开头写道：小老弟们，一次走遍哥尼斯堡的7座桥的走法是不存在的。

随后，欧拉又补充道：“七桥问题其本质就是一个一笔画问题。”

一笔画问题？怎么理解呢？

首先我们对于实际问题进行一个转化：把两座岛和河两岸抽象成顶点，每一座桥抽象城连接顶点的一条边。

当我们在找能一次走遍7座桥的走法时，实际上是在问这个转化出来图形是否为一笔画？

那该如何判断图形是否为一笔画图形？

为此，欧拉抛出了两个新的名词：奇顶点、偶顶点。

奇顶点：如果一个顶点连接的边数是奇数，那么这样的顶点叫奇顶点。

偶顶点：如果一个顶点连接的边数是偶数，那么这样的顶点叫偶顶点。

他表示任何可一笔画成的图只能有两种情况：

1、要么全部顶点都是偶顶点，那么起点和终点都是同一个点；

2、要么顶点里只有2个奇顶点，一个是起点，另一个是终点。

我们会发现，在上图里的A、B、C、D四个点都是奇顶点。所以欧拉给出答案：此题无解，无法一次走完七座桥。

花里胡哨的一笔画

七桥问题解决了，接下来让我们回顾到表妹那道问题......

我们都知道一个一笔画图形，要么是0个奇顶点；要么就是2个奇顶点，就像这道题一样。

对于0个奇顶点的情况，其实我们的起点在哪里都是可以的，从哪里开始，就从哪里结束。

而对于有2个奇顶点的情况，我们就需要确定起点和终点，也就是要找出2个奇顶点。

（红色为奇顶点）

所以正确的解法是:

是不是突然觉得很简单？

事实上，一笔画在我们生活当中也是很常见。

什么？你不信，那超模君先给你来一个耳熟能详的图形：

（中国结）

虽然交叉点很多，但它实际上是一笔画图形。

甚至还有打破二维世界的一笔画，在综艺《最强大脑》里面就曾出现了相关的考题：立体一笔画。

需要选手快速找出全场150个不规则立体图形中能从任意点一笔画成的图形，且不能和场上已有答案重复。

（最强大脑之立体一笔画）

这不仅仅要懂欧拉定理，连个人的观察力、空间力、计算粒、推理力、记忆力、创造力都有着很高的要求。

看完这些一笔画，超模君已经身心疲惫，不得不扶墙了。

什么，你还不服，那请你3秒内解决下面这道国考题吧~

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