面积计算（二）

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为什么说三角形的面积公式是最基本的？因为我们可以用三角形来生成所有的多边形。换句话说，只要有三角形的面积公式，我们就可以计算出一切多边形的面积，当然，仅仅是理论上。

首先我们来看平行四边形的面积。平行四边形是指两组对边都平行的四边形，我们把两个相对的顶点连起来，就得到了平行四边形的一条对角线。

由初中的平面几何知识我们可以知道，一条对角线把平行四边形分成了两个全等的三角形，所以很容易得到平行四边形的面积是底乘以高，即S=ah.

从这个推导我们可以看出，化归的思想简直是无处不在。因为四边形的面积公式并没有告知，我们有的只是三角形的面积公式，很自然的想法就是如何把四边形拆分成若干个三角形以后来计算面积——这里我们其实还回避了一个小问题：即怎么拆分才是合理的。由于把不相邻的顶点相连直接就能得到两个小三角形，这个问题看起来就不那么重要了。更一般的，对于n边形的情况，我们只要固定住某一顶点然后和其他非邻边所在的顶点连线，可以得到n-3条不同的对角线，于是一个n边形可以被分解成n-2个小三角形，于是面积就等于这n-2个小三角形面积的和。

作为学习过平面几何的家长知道，添加辅助线是平面几何中最让人头疼的一件事，这就是涉及到合理性的问题。加辅助线灵魂三问：要不要加？加在哪里？加的对不对？这些训练早在小学的几何图形面积的求解里就有最初步的训练。

回到我们的平行四边形面积的推导中来，以此为基础，我们很容易得到矩形的面积公式就是长乘以宽，而正方形的面积公式就是边长的平方。这个可以视作平行四边形面积的直接推论，但是直接推论的基础是什么？

只能是基本定义。

什么是矩形？有一个角是直角的平行四边形或者四个角都是直角的四边形就叫矩形，什么是正方形？邻边相等的矩形才是正方形。

换句话说，矩形的长和宽就是普通四边形里的底和高，而且互为底和高，也就是说矩形的任意两条邻边随便哪条都可以当做是底，那么另一条自然就是高。而正方形的底和高都是相等的，所以面积就是边长的平方。

当然，由于小学里没有学过所谓全等的概念，但是并不妨碍我们用这个概念来理解一些事情。比如我们可以对下面的平行四边形做这样的变换：

看，平行四边形是不是就变成了一个矩形了？

我们把切下来的直角三角形完美地拼到了另一头——对于任何一个学习过平面几何的人来说，这样的做法显然是很不严格的，因为你都没证明这是全等的图形，但是对孩子来说，这个直观就够了。

我们还可以进一步地进行一些训练，比如让孩子把平行四边形按照对角线剪开，然后以某一边为对角线拼成一些新的平行四边形。在这个过程中，我们很容易发现图形虽然样子发生了改变，但是面积大小并没有发生改变。我们甚至还可以如下操作：把平行四边形拦腰截断，然后再拼起来，面积依然不会发生改变。

总是玩七巧板一样，有意思么？

有啊，要知道，计算面积最重要的技巧不就是所谓的割补法么？从这样不严格的、直观的训练做起，孩子会容易接受的多哟~

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