从一道抛物线试题的多种解法到圆锥曲线“伴侣点”的一个和谐性质
圆锥曲线之歌
邹生书
圆锥曲线我的爱，就象菜花遍地开。
定值定点定直线，推广类比求拓展。
焦点弦，最青睐，四点共圆有妙解。
极点极线好舞伴，几何画板展风采。
从一道抛物线试题的多种解法到圆锥曲线
“伴侣点”的一个和谐性质
湖北省阳新县高级中学 邹生书
一.试题与解法
说明：上述问题是由广州朱章根老师首先在高中数学解题交流二群里提出来的，若用抛物线的二级结论则解法较多，不用二级结论怎么求解？上面解法是浙江省平阳中学洪一平老师交流的一个没有用到二级结论的解法。
下面先证明抛物线的一个二级结论，再用此结论简解这个题目。
二.推广与拓展（圆锥曲线“伴侣点”性质）
综合上述3个结论，可得圆锥曲线的一个统一的和谐性质如下：
定理4 已知M,N是圆锥曲线的一对“伴侣点”，过点M作与坐标轴不平行的直线与曲线相交于A,B两点，则直线AN和BN与x轴成等角。
不难看出文献[1]中的4个结论分别是上述4个定理中的“伴侣点”分别为焦点和对应准点时的一个特例，文献[2]中的3个结论分别是上述定理4中的一个“伴侣点”在曲线内或曲线外时一种情形。
上述定理中的一对“伴侣点”的地位是平等的，其中任一点既可在曲线内部也可在曲线外部，正因为如此故称上述几何性质是“伴侣点”的和谐性质。对“伴侣点”平等相待，不分“类焦点”和“类准点”，这样既避免了过“类焦点”作直线与圆锥曲线相交和过“类准点”作直线与圆锥曲线相交两种情形的研究，又使“类焦点”和“类准点”的两个性质统一成“伴侣点”的性质，充分体现了数学的和谐之美。
三.两道考查圆锥曲线等角性质的全国卷高考题
1.（2018高考全国1卷理科第20题）
2018 年新课标 1 卷理科和文科的解析几何大题，以及2015年新课标1卷理科大题的最后一问题都与圆锥曲线等角性质有关。由《圆锥曲线“伴侣点”的一个和谐性质》知，圆锥曲线的等角性质的充要条件是“伴侣点”。从问题产生的时间顺序以及问题之间的逻辑关系来看，如果说圆锥曲线的等角性质是第一代，那么椭圆、双曲线和抛物线的等角性质属于第二代，这三道高考题保留着第二代的基因，无疑就是第三代了。也就是说这三道高考题是文中性质1和性质2的特殊情形，是他们的子女，是圆锥曲线等角性质的孙子和孙女！
参考文献
[1] 吕学柱. 圆锥曲线“和谐”新视点. 中学教研(数学),2008(9):25-26
[2] 彭世金. 圆锥曲线的一个优美性质. 数学教学通讯, 2007(6)