《測圓海鏡》﹝諸差5﹞之髙差、黃廣及黃長等式

《測圓海鏡》﹝諸差5﹞之髙差、黃廣及黃長等式

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文著重十四勾股形之髙差、黃廣弦及黃長弦之相關等式。

關鍵詞：極差、旁差、角差、蓌和、蓌差

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即
 a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。圓徑乃十五勾股形三邊重要因子之一，其他因子為最大勾股形之勾股較、勾弦較及股弘較。

本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式，其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現，可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

本文取自《測圓海鏡‧卷一‧諸差》。筆者有以下文涉及〈諸差〉：

《測圓海鏡》之大差差、小差差等式﹝諸差1﹞

《測圓海鏡》之髙差、旁差、極雙差等式﹝諸差2﹞

《測圓海鏡》之極差等式﹝諸差3﹞

《測圓海鏡》之角差及虛差等式說﹝諸差4﹞

本文乃以上四文之延續。

以下為有關“髙差”及相關之等式：

以髙差減明和即虛弦。以平差加

和亦同上。以髙差減髙股即半徑。以平差加平勾亦同上。以髙差減大差差即明差。以平差減小差差即

差也。以髙差減大差即髙弦。以平差加小差即平弦也。二之平差內去虛差餘即小差差。去二虛差即兩個

差。

髙股即半徑上股方差。平勾即半徑上勾方差，故髙勾平股共為全徑也。黃廣股即全徑上股方差。黃長勾即全徑上勾方差。故黃廣勾、黃長股共數為兩個全徑也。

以下為各條目之証明：

以髙差減明和即虛弦。

“髙差”即髙勾髙股差 = b₆ – a₆﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7﹞。

髙勾髙股差=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

“明和”即明弦勾股和 = b₁₄ + a₁₄。

明弦勾股和=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

+

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

以髙差減明和，即：

–

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ – (b₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)(a₁ + b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ – b₁² + a₁b₁ + (c₁a₁ + c₁b₁ – a₁² – a₁b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(– b₁²+ a₁b₁ + c₁a₁ + c₁b₁ – a₁² – a₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)( – b₁²+ c₁a₁ + c₁b₁ – a₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)( –c₁² +c₁a₁ + c₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) #。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

已知月山太虛弦﹝簡稱太虛弦﹞：c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) #。

比較兩式，可知以髙差減明和 = 虛弦。

以平差加

和亦同上。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(1 –

)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

“

和”即

弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ ﹝在勾股形山川東 15﹞，即：

b₁₅ + a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

+

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

平差加

和，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[(b₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁b₁ – a₁² + c₁b₁ + c₁a₁ – b₁² – a₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(– a₁²+ c₁b₁ + c₁a₁ – b₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(– c₁²+ c₁b₁ + c₁a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) #。

所以虛弦 = 平差加

和。

以髙差減髙股即半徑。

“髙差”指髙弦上勾股較﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞。

髙弦上勾股較= b₆ – a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

已知天旦股﹝又稱上髙股/髙股﹞：b₆ =

=

( a₁ +b₁ – c₁) 。

旦日勾 ﹝又稱上髙勾/髙勾﹞：a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) #。

以髙差減髙股 = b₆ – (b₆ – a₆) = a₆=

(a₁ + b₁ – c₁) #。

a₁ + b₁ – c₁ 是為圓徑，

(a₁ + b₁ – c₁) 是為圓半徑。所以以髙差減髙股 = 圓半徑。

以平差加平勾亦同上。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(1 –

)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

月青勾﹝又稱上平勾﹞：a₈ =

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

青川股﹝又稱上平股﹞：b₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) #。

平差加平勾 = (b₈ – a₈) + a₈ = b₈ – a₈ + a₈= b₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) #。

所以以平差加平勾 = 圓半徑。

以髙差減大差差即明差。

“髙差”即髙勾髙股差 = b₆ – a₆﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7﹞。

髙勾髙股差=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

“大差差”指大差上勾股較，勾股較即勾股差﹝在勾股形天月坤 10﹞。

大差上勾股差 = b₁₀ – a₁₀ = (c₁ – a₁) –

(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(1 –

)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) 。

以髙差減大差差，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (b₁ – a₁)[

(c₁ – a₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(b₁ – a₁)[2a₁(c₁ – a₁) – b₁(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(b₁ – a₁)(2a₁c₁ – 2a₁² – b₁a₁ – b₁² + b₁c₁)

=

(b₁ – a₁)(2a₁c₁ – a₁² –b₁a₁ – c₁² + b₁c₁)

=

(b₁ – a₁)[b₁(c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)² ]

=

(b₁ – a₁)(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) #。

“明差”即明弦勾股較。

明弦勾股較=b₁₄ – a₁₄=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

–

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) #。

比較答案兩式可知相等，所以以髙差減大差差 = 明差。

以平差減小差差即

差也。

已知“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

“小差差”指小差﹝在勾股形山地艮 11﹞上之勾股較。

小差上勾股較 = – (c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(

– 1)

=

(c₁ – b₁)(b₁ – a₁)。

以平差減小差差，即：

(c₁ – b₁)(b₁ – a₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (b₁ – a₁)[

(c₁ – b₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(b₁ – a₁)[2b₁(c₁ – b₁) – a₁(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(b₁ – a₁)(2b₁c₁ – 2b₁² – a₁² – a₁b₁ + a₁c₁)

=

(b₁ – a₁)(2b₁c₁ – b₁²– c₁² – a₁b₁ + a₁c₁)

=

(b₁ – a₁)[– (c₁ – b₁)² + a₁(c₁ – b₁)]

=

(b₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) #。

“

差”指

弦上勾股較。

弦上勾股較 = b₁₅ – a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

–

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式可知以平差減小差差 =

差。

以髙差減大差即髙弦。

“髙差”即髙勾髙股差 = b₆ – a₆=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

大差指最大勾股形之勾弦差，即 c₁ – a₁。

以髙差減大差，即：

(c₁ – a₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=

[2a₁(c₁ – a₁) – (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)]

=

[2a₁c₁ – 2a₁² – (b₁² – a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)]

=

(2a₁c₁ – 2a₁² – b₁²+ a₁² + c₁b₁ – c₁a₁)

=

(a₁c₁ – a₁² – b₁² + c₁b₁)

=

(a₁c₁ – c₁² + c₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) #。

已知髙弦﹝即天日或日山﹞：c₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) #。

比較兩式，可知以髙差減大差 = 髙弦。

以平差加小差即平弦也。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(1 –

)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

小差指最大勾股形之股弦差，即 c₁ – b₁。

c₁ – b₁ +

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=

[2b₁(c₁ – b₁) + (b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)]

=

[2b₁c₁ – 2b₁² + b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁]

=

[b₁c₁ – b₁² – a₁² + c₁a₁]

=

[b₁c₁ – c₁² + c₁a₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁) #。

已知平弦：c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) #。

比較兩式，可知以平差加小差 = 平弦。

二之平差內去虛差餘即小差差。

已知“平差”=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

二之平差= 2 ×

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

“虛差”指太虛勾股較﹝在勾股形月山泛 13﹞。

太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

–

]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²。

二之平差內去虛差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[1 –

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[2a₁ – (a₁ + b₁ – c₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(a₁ – b₁ + c₁)

=

(b₁ – a₁)[a₁ – (c₁ – b₁)][a₁ + (c₁ – b₁)]

=

(b₁ – a₁)[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=

(b₁ – a₁)[a₁² –c₁² – b₁² + 2c₁b₁]

=

(b₁ – a₁)[a₁² –a₁² – b₁² – b₁²+ 2c₁b₁]

=

(b₁ – a₁)(– 2b₁² + 2c₁b₁)

=

(b₁ – a₁)(c₁ – b₁) × 2b₁

=

(c₁ – b₁)(b₁ – a₁) #。

“小差差”指小差﹝在勾股形山地艮 11﹞上之勾股較。

小差上勾股較 =

(c₁ – b₁)(b₁ – a₁) #﹝見前條﹞。

比較兩式，可知二之平差內去虛差 = 小差差。

去二虛差即兩個

差。

二之平差 =

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

“虛差”指太虛勾股較﹝在勾股形月山泛 13﹞=

(a₁ + b₁ – c₁)²。

“二虛差”=

(a₁ + b₁ – c₁)²。

二之平差內去二虛差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[1 –

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[a₁ – (a₁ + b₁ – c₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(c₁ – b₁) #。

“

差”指

弦上勾股較。

弦上勾股較 = b₁₅ – a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

–

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) 。

兩個

差 = 2 ×

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(c₁ – b₁) #。

比較答案兩式可知相等，二之平差去二虛差 = 兩個

差。

髙股即半徑上股方差。

髙股在勾股形天日旦 6 或日山朱 7，兩勾股形全等，第 7 點為“朱”。

已知髙股﹝天旦﹞：b₆ =

=

( a₁ +b₁ – c₁) 。

髙勾﹝日旦﹞：a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

髙弦﹝天日﹞：c₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) 。

已知圓半徑 =

(a₁ + b₁ – c₁)。即圓半徑= 髙勾。

因為 c₆² – b₆² =a₆² ，即 b₆²= c₆² – a₆²，

c₆² – a₆² 是為“半徑上股方差”。

平勾即半徑上勾方差，故髙勾平股共為全徑也。

平勾在勾股形月川青 8 或川地夕 9，兩勾股形全等，第 8 點為“青”。

以下為月川青勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

平股﹝月青﹞：b₈ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

平勾﹝川青﹞：a₈ =

=

( a₁ +b₁ – c₁) 。

平弦﹝月川﹞：c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

圓半徑 =

(a₁ + b₁ – c₁)。即半徑 = 平股。

因為 a₈² = c₈² –b₈²，c₈² – b₈² 是為“半徑上勾方差”。

又已知髙勾：a₇ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

平股：b₈ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

髙勾平股共 =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) = a₁ + b₁ – c₁。

a₁ + b₁ – c₁ 是為圓之直徑。

故髙勾+ 平股 = 全圓徑。

黃廣股即全徑上股方差。

黃廣股在勾股形天山金 4，以下為天山金之三邊長：

金山勾 ﹝又稱黃廣勾﹞：a₄ =

(a₁ + b₁ – c₁) × 2 = a₁ + b₁ – c₁。

天金股﹝又稱黃廣股﹞：b₄ =

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦﹞：c₄ = √(a₄²+ b₄²) =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

黃廣勾之長為 a₁ + b₁ – c₁，即 a₄，此即為圓之直徑。

因為 b₄² = c₄² –a₄² ，c₄² – a₄² 是為“全徑上股方差”。

黃長勾即全徑上勾方差。

黃長勾在勾股形月地泉 5﹝見前圖﹞，以下為月地泉之三邊長：

黃長勾﹝地泉﹞：a₅ =

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

黃長股﹝月泉﹞：b₅ =

(a₁ + b₁ – c₁) × 2 = a₁ + b₁ – c₁。

黃長弦﹝月地﹞：c₅ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

黃長股之長為 a₁ + b₁ – c₁，此即為圓之直徑。

因為 a₅² = c₅² –b₅²，c₅² – b₅² 是為“全徑上勾方差”。

故黃廣勾、黃長股共數為兩個全徑也。

黃廣勾、黃長股共 = (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁) = 2(a₁ + b₁ – c₁)。

上式是為兩個全圓直徑。

以下為《測圓海鏡細草》原文：