为什么要发明和使用微积分？

问题解决的需要

微积分其实并不是刻意发明和使用的,它分为微分和积分两个重要部分,统称微积分,它的出现是科学发展的必然结果,特别是在一些无法解决的问题面前,新的数学工具和思想便应运而生.

当时无法解决的问题:

1.物体运动的路程与时间的关系,物体在任意时刻的速度与加速度等;

2.曲线的切线问题.

3.函数的最值问题,弹道射程问题,行星和太阳的近日点和远日点问题;

4.求积问题,曲线长、曲线所围面积和体积问题.

无限思想产生

在没有解决这些问题之前,数学的研究都停留在有限量的研究上,而原来的思想无法解决以上问题,无限思想的引入为数学提供了源源不断的活力.

如下图所示,物理学家们开始从路程相对时间的变化率(也即速度)开始研究.当两个点A、B无限靠近时,这个变化率相当于过这点的切线的斜率.还记得吗?高中的导数就是这么开始学习的.

这个变化率是与曲线本身有莫大的关系,为了表示这个变化率,用下图这个式子表达,同时,通过大量计算得出了一些常见函数的导数结果,也就是我们现在高中生所学习的求导法则.这就是微分(导数).

同理,为了解决曲边图形的面积问题,如下所示,有限思想下是无法解决的,因为并没有面积分式等;要解决些问题还是应用无限思想,将这些小矩形面积之和来估计面积.当无限分割时,小矩形面积之和就等于曲边图形面积.请看下方推导过程.

微积分的发明者牛顿和莱不尼兹,两人在思想上是一样的.不可否认的是,微积分的发明,不只在数学上意义重大,从之前的有限到无限的跨越.另外在物理或者其他学科的进步也是巨大的,划时代的,成为现代数学和物理的基础.