三角形的面积公式你只知道底乘高除2?其实海伦公式也是相当牛的

海伦公式

古希腊数学家海伦建立的用三角形三边的长度求面积的公式,公式如下

当三角形三边长都为整数时,用海伦公式就会非常方便快捷,但是若三角形三边长都是无理数,带根号的,那就无比难算。如下图分析的一样,大家可以试着去算一下:

三斜求积术

中国古人非常聪明,也发现了三角形面积的算法,在秦九韶的《数书九章》有以下文字:

问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?

答曰:三百一十五顷

以小斜为幂,并大斜幂,减中斜幂,余半子,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积。

秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜,中斜、大斜。术即为方法,三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,减中斜平方,取余数的一半的平方,而得一个数。小斜平方乘以大斜平方,减上面所得到的那个数。相乘后余数被4除,所得的数作为实。作1为为隅,开平方后即得面积。

若用三斜求积术的话,那上述问题可以顺利快速的解决。

海伦公式与三斜求积术本质是一样的,它们是可以相互推导的。

推导如下:

公式的证明,有很多,可以通过初中的勾股定理来证明,三角形的内切圆的相关性质来证明,也可以通过高中的向量法来证明,也可由高中阶段的余弦定理来证明,可谓方法众多,大家可以继续往下了解。

方法一:通过勾股定理来证明

证明的核心在于建立边之间的关系,同学们在推导时,要注意此证明中的方程的解法,一般采用代入法或者消元法来求解,对同学们的要求还是比较高的。

方法二:通过三角形内切圆来证明

证明的核心在于内切圆与角、面积之间的关系。利用内切圆可以用两种方式来求三角形的面积,由此建立等量关系,最后可以整理出海伦公式,同学们在整理时需要耐心一点,这些转化过程还是比较麻烦的。

方法三:通过平面向量来证明

证明的核心在于向量与长度的转化。向量的数量积包括外积与内积,在高中阶段同学们可能只有内积,同学在在理解时可以先去了解一下外积的算法。

方法四:通过余弦定理来证明

证明的核心在于余弦值的表达方式。通过余弦定理推导,非常简当。

海伦公式虽然是三角形面积公式,但是它的应用不只是求三角形的面积,很多时候如果能用到此公式,那对三角形面积的最大值或者最小值的求解非常有帮助。

应用1

应用2

应用3

(0)

相关推荐