【解题研究】（2021黑龙江28）动点、面积、平行四边形存在性

如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE=  ，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

试题分析

（1）解方程可得OA的值，再求出AE，BE，可得结论．
（2）分两种情形：如图2中，当0＜t≤  时，重叠部分是四边形ACFM，如图3中，当  ＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，分别求解即可．

备注：动点问题处理处理

①求出动点在起点、拐点、终点对应的的时间；

②以关键的时间点为临界值，确定分类；

③画出每种情形下的图形，结合题目中的条件解题．

（3）如图4中，根据平行四边形的定义，画出图形，求出点F，点M的坐标，可得结论．

备注：三定一动型平行四边形存在性问题

有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标. （坐标平移规律：左减右加变x，上加下减变.如何平移？可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定）

题目解析

（1）由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，
∵OA是方程的根，
∴OA＝5，
∴AB＝OA＝5，
在Rt△ABE中，tan∠BAE  ，AB＝5，
∴BE＝4，AE＝5，
∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，
∴B（8，4）．
（2）如图1中，当点F落在OB上时，AM＝t，DM  ．AD  ，
∵FM∥OA，
∴    ，
∴  ，
∴t  ．
如图2中，当0＜t  时，重叠部分是四边形ACFM，  ·（AC+FM）·DM  ·（     ）    t2．
如图3中，当  t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，S＝S梯形ACFM﹣S△FGH  ．
综上所述，
（3）如图4中，满足条件的点P如图所示：
∵点F落在OB上时，t  ，
∵DM＝FM   ，AD  ，AC  ，
∴PF＝PM﹣FM＝  ，OC＝  ，
∴F（  ，  ），M（  ，  ）．
∴P（  ，  ），P″（  ，  ），P′（  ，  ）．

解题反思

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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