“半角模型”中的问题探究

“半角模型”常常在正方形、等腰直角三角形、正三角形中出现，往往伴随着旋转和翻折。本文由正方形中的半角模型导入，逐渐深化进行变式，分析其中的全等与相似三角形，以及线段之间的数量关系。

解析：这是最初始的正方形半角模型，如下图，可以通过“截取线段BH=DF”或者“旋转▲ADF”来实现。无论用哪种方法，都是利用了∠EAF=45°来实现的，不论E、F怎么运动，始终存在这样的数量关系，即EF=BE+DF。下面利用“旋转法”来进行证明。

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解析：得到以下结论：①三组相似三角形：▲ABM与▲AOF(▲AOE与▲ADN)；▲ACM与▲ADF(▲ABE与▲ACN)，▲AEF与▲AMN；②▲AFM与▲AEN为等腰直角三角形；③AM=√2AF、AN=√2AE；CM=√2DF；CN=√2BE；MN=√2EF.通过将这些基本结论组合，还可以得到更多的结论.

解析：根据正方形中的半角模型，本题的添线思路依旧可以围绕翻折或者旋转.可以沿着EC翻折▲ACE或者绕点C旋转▲ACE，都可以将三条线段置于一个直角三角形中，进而得到线段之间的数量关系。

除了AE、ED、BD之间的数量关系外，图中还有一对相似三角形，即▲ACD与▲BCE.

推论：若有一个等腰三角形ABC，其中AC=BC，D、E在底AB上，且满足∠ECD=∠A=∠B，则必有▲ACD∽▲BCE.

解析：根据等腰直角三角形中的半角模型，本题的关键在于构造出新的45°，从全等过渡到相似，从而解决问题。

上述的“半角”模型，不论是在正方形背景、等腰直角三角形背景还是正三角形背景，其本质都是通过旋转，利用相似或者全等，将所求的线段转化到一直线或某个三角形中，从而探索出线段之间存在的数量关系。“半角”模型应用广泛，要能够“明一理”，进而“通一类”，进而解决类似的问题。