变中不变——弗赖登塔尔《作为教育任务的数学》读书笔记之八

第十五章  集合与函数

1.新数学那种教集合论的方法是错误的，也是失败的。其教科书中充斥着字母的集合。

2.教学法上对图的要求：要反映出某样东西；简洁明了，无需赘述；表示事务的原理要清晰，易于掌握。韦恩图一对应，便出现诸多不符合。新数学教科书中，韦恩图被偏爱者滥用了。若将一种有用的方法硬性推广到所有的场合，便会沦为教条。

昱见：多么深的洞见！每一种方法都有自己的位置和场域，我们可以钟情其中一种，爱而深钻，求得更好地了解所爱。这种钟爱可以深入，而不可以偏执；可以让更多人也了解，但不可以泛滥。惟我独尊只能孤家寡人或走火入魔。

3.数学是数学化了的现实世界，它抛却了具体走向了抽象。

昱见：具体变成了理解它的工具。

4.数学不断完成的抽象步伐：具体模型——较抽象模型——思维模型

5.集合论不是万能收容所，容不下那么多东西。

6.可以给学龄前儿童一个“小世界”，适宜用自由度很高的现实的数学化和程式化程度很低的材料，来进行逻辑、集合理论的构造活动。

7.集合中的元素需要超越小世界，在更高层次上理解其抽象性。

8.集合概念的抽象化层次：“小世界”——画在纸上的集合——思维类“小世界”——明确描述和易于想象的集合——完全公理化形式化的集合（论）

9.在语言学上“集合”一词不同国家的差异：荷兰有“收集”意，便以“集邮”引入集合，而集邮一种邮票只存一张样票，这与韦恩图的过度使用一起造成集合论教学的错误；法语有“一起”意，于是也无节制地用韦恩图；德语有“量”的意思，就有了“五镑糖的集合”这样的例子；……伪集合如此诞生。

昱见：数学是无种族差异无国界的人类语言，它的形式化似乎也是其无国界的一种需求。经历了一段时间的形式化数学的强制阅读后，会慢慢发现不过就是理解并熟悉那些符号的意义。从一定意义上说，那不过是一种编码，一种语言而已，对于我，相当于有一定基础的外语学习。

我很感谢这本书和这次阅读，它不仅仅教我如何教学数学，还教我如何学习数学，更教我高等数学！如果不是阅读本书，恐怕我一辈子都不可能如此近地接触高数。

10.集合论符号∈∪∩等与韦恩图混用，会导致师生的无所适从。

11.函数教学，可以从现实中例子，辅以图象表示自然引入。图象很重要，但不排除其他方面，多方面的探索总比片面的要好。

昱见：这就对了，画图读图是很好的数学学习方法，但是不可能是唯一的好方法，所以我们强调画图要与其他方法结合，学生要有选择的机会和能力，这不是妥协不是无奈，而是科学。

12.函数概念的演变：量——法则——变换