2016是闰年，你知道什么是闰月吗？为什么19年7闰？

可乐数学按：今天是2016年的2月7日，猴年就要来到了。祝各位朋友新春愉快，猴年大吉！2016年是闰年，这个2月有29天！不但2016是4的倍数，而且2016/4也是4的倍数。今年没有闰月，但明年闰6月大。另外，有同学可能会想，每年的春节对应的阳历日期为什么会有些差别呢？我的阳历生日和农历生日什么时候会差不多呢？如果你今年19岁，你会发现你的农历生日和阳历生日相差不大。这是为什么呢？历法从来与数学密切相关，也曾是数学发展的一大动力。这里辑录一些简单的知识以飧读者。

一、西曆的计算方式现时为世界普遍採用的西曆，正确名称是「儒略曆」(Gregorian calendar)。这套曆法的雏形由古罗马凯撒大帝 (Julius Caesar) 在公元前 46 年修订当时的曆法制定，后来再在 1576 年由罗马教皇再修订成现代的曆法（因为 1576 年的修订原因和本题目无关，这里略过不谈）。因为这套曆法的根据是地球环绕太阳公转的周期（365.2422天），所以它可被归类为「阳曆」(solar calendar)。曆法内容如下：1. 闰年当年份数字是 4 的倍数时，该年则为「闰年」，否则为「平年」；但若年份为 100 的倍数而不是 400 的倍数，该年则改回「平年」。2. 每月的日数平年每年共分为 365 天，闰年则为 366 天，这三百几天约略平均分成 12 个月，其中 1、3、5、7、8、10 和 12 月有 31 天，4、6、9 和 11 月有 30 天，平年的 2 月有 28 天，闰年的 2 月则有 29 天。（这种分配方法有其历史原因，但这里不作深究。）简单来说，每 400 年共有 97 个闰年，即 365*400 + 97 = 146097 天，这和 400 年共有 365.2422*400 = 146096.88 天 只差 0.12 天，误差很小。因此，它可以准确地量度地球公转的活动。二、农曆的计算方法我们指的农曆是中国农曆，应始用于中国夏朝。商朝时农曆已有相当准确的曆法计算规则，现代的农曆大部分规则亦建基于此。农曆的计算依据比儒略曆複杂。平日我们说它是阴曆 (lunar calendar)，其实是一种误解。它既考虑地球的公转周期，亦考虑月亮环绕地球公转的周期，因此它被称为「阴阳曆」(lunisolar calendar)。实际上真正的阴曆不多，其中回教曆 (Islamic calendar) 即为阴曆。1. 初一的位置计算农曆时，我们首先计算每月的初一是在哪一天。众所周知，初一时月球亮度最小，是新月开始的日子。因此，我们会将新月开始的一天定为初一（月份序号尚未确定）。因为月亮的盈亏周期是 29.5306 日，所以农曆每个月都是 29 或 30 日。2. 十一月的位置决定月份的序号前，我们应先知道节气和「岁」的概念。我们将地球公转轨道分为 24 份，每份为 15 度，代表一个节气。当地球到达进入某份的轨道时，当天便属于该份的节气。二十四个节气顺序为1. 立春2. 雨水3. 驚蟄4. 春分5. 清明6. 穀雨7. 立夏8. 小滿9. 芒種10. 夏至11. 小暑12. 大暑13. 立秋14. 處暑15. 白露16. 秋分17. 寒露18. 霜降19. 立冬20. 小雪21. 大雪22. 冬至23. 小寒24. 大寒表 1：二十四節氣表其中第偶数个的节气（如雨水、春分、……、冬至和大寒）都称为「中气」。每个「岁」是由十一月开始，翌年十一月前的一个月结束。根据规定，冬至一定要在每个「岁」的首月。因此，我们会将包含冬至的那个月定为十一月。为甚麽人们以十一月而不是正月为计算基础，又以冬至为算法的准则呢？首先，对位于北半球的中国来说，冬至是全年影子最长的一天。因此，古人只需利用垂直的竹竿测影便可得知哪天是冬至。至于以十一月为计算基础则为古代的传统。这种曆法安排始于夏朝，几经改动后在西汉再度採用，并沿用至今。（夏朝时的农曆建寅月为正月（寅月即冬至起计第三个月），称为夏曆。后来商朝、周朝和秦朝则分别改建丑月、子月和亥月为正月（丑月和子月是冬至起计的第二及第一个月，亥月则为冬至前的一个月），分别称为「殷曆」、「周曆」和「颛曆」。直至汉武帝太初元年（公元前 104 年）才再度採用夏曆，并流传至今。这亦是有时农曆又称夏曆的原因。）另外，这亦和中国农民生活习惯有关。冬至是农民开始休息的日子。从冬至至立春，人们一般都会与家人准备团年，不会耕作，让农地休养生息。因此，冬至对农民来说是重要的时间标记。这就是计算曆法的人以冬至作为算法准则的原因。「岁」的重要性亦可从中国古代计算年龄的方法得知。中国古代的人数算年份时，往往会以岁为数算的基础。例如，人们计算自己的出生年份时，他们会考虑自己是在哪一「岁」出生，而不是哪一「年」出生。

3. 节气和闰月其他的月份序号怎样决定呢？在此之前，我们会先决定闰月。闰月的规则如下：1. 如果某个岁有 13 个月，则该岁为闰岁。2. 如果某岁不是闰岁，月份则按着十一月、十二月、一月、二月、……、十月顺序编号。3. 如果某岁是闰岁，我们便要将其中一个月定为闰月。决定闰月的规则和节气有关：一年有 12 个中气。因此，13 个月里必定有最少一个月没有中气。闰岁中第一个没有中气的月份是该岁的闰月。除了闰月的月份序号和前一个月一样外，其他月份都按着十一月、十二月、一月、二月、……、十月顺序编号。由于 19 年共有 365.2422*19 = 6936.6018 日，而 19*12 + 7 = 235 个农曆月则有 235*29.5306 = 6936.6910 日，两者仅相差约 0.08 天。故若 19 年置 7 闰，农曆便可以颇准确地描述地球公转的情况。这便是人们常说「十九年七闰」的原因。这亦解释了为何农曆和儒略曆的日期对照会每 19 年便「循环」一次。祝各位 新春愉快，猴年大吉！（前两个图片来自蒋讯老师微博）