11、可观测量

11、可观测量

11.1 厄米算符

一个可观测量的期望值用内积表示

多次测量值的平均值是实数，则

内积的复共轭颠倒了顺序，

因此

任意的波函数都满足此式，因此表示可观测量的算符有非常特殊的性质

对任意的成立，我们称这样的算符为厄米算符。或更强的条件

对任意的f(x)和g(x)成立。

厄米算符本质一点是既可以作用于内积的右侧项也可以作用于左侧项，结果都是一样，由于厄米算符的期望值是实数，它们很自然地出现在量子力学中：可观测量由厄米算符表示。

我们验证一下动量算符是厄米算符吗？

利用了分部积分和边界项条件。因此动量算符是厄米算符。

11.2确定值态

通常，对全同体系的系综测量一个可观测量Q，每个体系都处于相同的态，每次测量并不能得到相同的结果——这就是量子力学中的不确定性。问题：是否能够找到一个态使得每次观测Q都一定得到同样的值q，称这样的态为可观测量Q的确定值态。（哈密顿的定态是确定值态，测量一个粒子处于定态时的总能量，必定得到相应的“允许的”能量）。

Q的标椎差，在定态下应该是零，即

（利用是厄米算符，把内积中的一个作用在左侧项上。）但是其内积为零的唯一的函数是0，所以

这称为算符的本征方程；是的一个本征函数，q是相对应的本征值。因此，确定值态是的本征函数，在这种态上测量Q一定能够得到本征值q。

本征值是一个数（不是算符或函数），任意本征函数乘以一个数，仍然是一个具有相同本征值的本征函数。一个算符所有本征值的集合称为这个算符的谱。把两个（或更多）线性独立的本征函数具有相同的本征值，这种情况下，称作谱的简并。

例如，总能量的定态是哈密顿算符的本征函数：

这是定态薛定谔方程，E表示本征值，表示本征函数。如果添加得到，仍然是的本征函数。

算符，其中是二维极坐标，因为，有，Q是厄米算符，因为

本征方程

的一般解为

由限定q的可能值

这算符的谱是一系列所有整数值，并且是非简并的。

更正：希尔伯特空间一讲中，特别有，<f|g>=<g|f>*

参考资料：格里菲斯《量子力学概论》