控制方程的离散方法

通常在进行CFD计算之前，首先要对计算区域离散化，即对空间上连续的计算域进行划分，然后生成网格，将控制方程在网格上离散，最终将微分方程转化为代数方程组进行求解。常用的离散化方法有，有限差分法、有限元法、有限体积法和有限分析法。

有限差分法（Finite Difference Method,简称FDM）是数值解法中最经典的方法。他是将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组，求差分方程的解，就是微分方程的近似数值解，这是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法。这种方法发展较早，比较成熟，较多的用于求解双曲型和抛物型问题。用它求解边界条件复杂的问题，不如有限元法或有限体积法方便。

有限元法（Finite Element Method,简称FEM）是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并对各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理，将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成了嵌入指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到了各节点上待求的函数值。有限元法的基础是极值原理和，它吸收了有限差分法中离散处理的内核，又采用了变分计算中选择逼近函数并对区域进行积分的合理方法，是这两类方法相互结合、取长补短发展的结果。它具有很广泛的适用性，特别适用于几何及物理条件比较复杂的问题，而且便于程序的标准化。但是其求解速度较慢，因此，在商用CFD软件中应用并不普遍。目前，COMSOL采用的是有限元法。有限元法主要用于固体力学，几乎所有固体力学分析软件都采用的是有限元法。

有限体积法（Finite Volume Method，简称FVM）,是近年发展非常迅速的一种离散化方法，其特点是计算效率高。目前在CFD领域得到了广泛应用，大多数商用CFD软件都采用这种方法。其基本思路是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解微分方程对每一个控制体积积分，从而得出一组离散方程。有限体积法的基本思想易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义就是因变量在有限大小的控制体中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体中的守恒原理一样。

有限分析法是由陈景仁教授于1981年提出的，这种方法类似于有限差分法，用一系列网格线将区域离散，所不同的是每个节点与相邻的四个网格（二维）组成计算单元，即一个计算单元由一个中心节点与八个邻点组成。在计算单元中把控制方程的非线性项局部线性化，并对该单元上未知函数的变化型线作出假设，把所选定型线表达式中的系数和常数项用单元边界节点上为止的变量值来表示，这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一个定解问题，可以找出其分析解，然后利用这一分析解，得出该单元中点及边界上8个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中点的离散方程。有限分析法中的系数不像有限体积法那样有明确的物理意义，对不规则的区域适应性也较差。