初中数学预习
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一、初中教材视角
数学教材承载着知识、能力、活动经验和思想方法，蕴含了问题解决一般策略.实践表明，教材中的例题、习题、阅读材料、图片等是中考命题的“聚宝盆”，并且以教材为蓝本命制中考试题体现了考试评价的公平性.例1（2019年长春第22题）教材呈现：下面是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2 如图23.4.4，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证：
结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F.（1）如图3，若▱ABCD为正方形，且AB=6，则OF的长为________.（2）如图4，连接DE，交AC于点G，若四边形OFEG的面积为
，则▱ABCD的面积为_____.
评注：例1选材于华师版九年级数学教材第78页例2，充分体现了源于教材、高于教材的命题思路：命题者直接将教材中例题的证明过程作为问题呈现在试卷中，体现了立足教材的基本理念；将例题作为“二手结论”，以及将例题中所涉及的基本方法运用于新问题的解决之中，体现了教材使用的升华.特别指出，试题命制选材于数学教材，有利于引导教师在教学活动中立足教材、重视教材、回归教材、挖掘教材及创造性地使用教材.
二、高中教材视角
中考具有学业水平测评和选拔学生进入高一级学校学习的双重功能.因此，试题命制时既要关注测评功能的设置，又要注重选拔功能的渗透.其中，体现选拔功能的试题中有部分试题注重对初、高中知识衔接的考查.从而，高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间.命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景的试题.这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能.例2 （2020年凉山第27题）如图5，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c.（2）若∠A=60°，∠C=45°，BC=4
，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值.
评注：例2选材于高中人教A版教材必修五第3页.命题者以正弦定理为素材，着重考查学生的数学推理能力，意在判断学生是否具有进入高一级学校学习的潜质.同时，例2引导教师在初中数学教学中既要关注初中知识学习，又要关注后续知识发展，即注重初、高中的衔接.当然，尽管本例含有高中数学背景，但运用初中数学知识就能获得解答，这就是所谓的“高中背景，初中解法”，因此，在初中数学教学中，教师不需要刻意补充高中数学知识，否则会加重学生的负担.
三、中考数学视角
改编是中考命题的重要手段.一般来讲，一份中考试卷中，原创的试题很少，通过改编命制而成的试题占有较大比重.大多数中考试题立意深刻、背景新颖、设计巧妙，具有典型性、示范性和研究性，是中考命题的最佳“参照物”，自然而然成为了试题改编原型的首选素材.命题实践显示，部分中考试题的变式、推广衍生出的新问题再次成为了中考试题.因此，历年中考试题成为中考命题的最重要素材，这也为以中考试题为蓝本展开初三复习提供了依据.例3 （2016 年凉山第27 题）如图6，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是
的中点，AE⊥AC于点A，分别与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且
（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值.评注：本例选材于2005年温州第24题（简称第24题）：如图7，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是
的中点，AE⊥AC于点A，分别与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且
EM切⊙O于点M.
（3）如果AB=2，EM=3，求cot∠CAD的值.不难发现，例3和第24题立意相同、背景相同、设问相同、解法相同.显然，命题者对第24题进行适度改编得到了例3，第24题为例3的原型.顺便指出，在试题的改编中，要注意改编后新试题与原试题在形式、内涵、解答方法等方面的传承性、发展性，以及改编后新试题要具备严谨性、科学性、合理性和有效性，杜绝“拿来主义”、粗制滥造.
四、竞赛数学视角
竞赛数学是伴随数学竞赛的开展而产生的一门新兴数学教育课程.竞赛数学是介于初等数学与高等数学之间的数学，它以解决问题为主要手段，以传播高等数学的思想、方法为使命，为初等数学注入新鲜血液.正如张景中院士所说：“历年的数学竞赛活动为数学问题不断注入新鲜的血液，时常将数学学术形态转化为教学形态.早期部分国际数学奥林匹克竞赛试题进入教材成为例题或习题，由此可见竞赛数学和教学数学的关系非同一般.”显然，竞赛数学和中学课堂教学并不对立，并且竞赛数学可以扎根在中学课堂教学中.从历年命题来看，竞赛数学中的问题、思想和方法悄然进入中考试卷.例4 （2019年随州第15题）如图8，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y=
（k＞0）的图像经过点D，且与BC交于点E，连接OD、OE、DE，若△ODE的面积为3，则k的值为_____.
评注：例4的原型是2011年全国初中数学竞赛第8题：如图9，双曲线y=
（x＞0）与矩形OABC的边BC、BA分别交于点E、F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为_____.
可见，命题者通过逆向设置（将已知面积求k，改造为已知k求面积）命制了例4.特别指出，选材于竞赛试题时要注意三点：（1）要隐藏所命制新试题的竞赛数学背景；（2）要控制所命制新试题的难度；（3）所命制新试题解法上要回避竞赛数学的技巧和套路，否则会影响试题的信度、效度和区分度.
五、现实情境视角
从数学的产生和发展来看，数学与现实生活密不可分.正如华罗庚先生所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学.”《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《课标2011》）指出：贴近学生实际来甄选有利于学生体验与理解、思考与探索的数学课程内容.于是，教学活动中要挖掘贴近时代、贴近生活且具有意义的话题，让学生感受数学与现实的联系，用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界、用数学的理性精神反思现实问题中考命题也坚持了这一导向：通过设置现实情境，让学生利用数学概念、原理和方法解释情境中包含的现象，解决现实世界中的问题，同时让学生认识现实中有蕴含丰富数量关系和空间形式的可数学化的问题.例5 （2020年乐山第22题）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情.然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈.如图10所示是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图.（1）截止5月31日该国新冠病毒感染总人数累计为______万，扇形统计图中40～59岁感染人数对应圆心角为______°；（2）请直接在图中补充完整该国新冠病毒感染人数的折线统计图；（3）在该国所有新冠病毒感染病例中随机抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠病毒感染病例的平均死亡率.评注：例5以当前全世界最为关注的新冠病毒为素材，为考生展示了一个熟悉的现实情境，其意图是引导学生自觉关注身边之事、社会之事和国家之事.同时，例5用数据向学生普及新冠肺炎知识，比如：易感染人群、各年龄阶段死亡率等，让学生进一步了解新冠病毒，让学生充分体会到生活中处处有数学、数学广泛应用于生活.
六、数学文化视角
数学文化是人类文化的重要组成部分，它具有比数学知识更丰富、深邃的内涵.齐民友先生指出：一个没有相当发达数学文化的民族是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族注定是要衰落的.可见，学习数学不仅为了获取知识，而且要感受文化的浸润和熏陶，以此形成独特的数学品格.《课标2011》指出：数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中.因此，数学文化理应走进数学教学活动、融入中考数学命题.例6 （2020年长沙第9题）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”，这个节日的昵称是“π（Day）”.国际数学日之所以定在3月14日，是因为3.14是与圆周率的数值最接近的数，在古代，一个国家所算圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的主要标志.我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，有以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比.其中正确的是（ ）.评注：例6是一道经典的数学文化型试题.命题者取材于圆周率，其意图有三点：（1）引领日常教学关注数学文化的渗透；（2）让学生了解中国古人在数学上的卓越成就，感受中国古人的伟大智慧，关注中国的传统文化，增强文化自信、民族自信；（3）激发当代学生的责任感和进取心.要指出的是，随着研究的深入，数学文化开始走进中小学课堂，渗入数学教学，要努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，实现社会文化和数学文化之间的互动.因此，各地中考命题始终努力将数学文化的考查摆在重要的位置.
