八上第10讲 等腰三角形，你都掌握了吗？(下) 模型篇
写在前面
离期中考试的时间已不足两个星期，本讲我们将等腰三角形中的三大模型，将军饮马，手拉手，两圆一线 进行归纳总结！
模型篇
一、将军饮马最值
1、模型再现
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？
我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．
如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？
很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)
那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．
2、实战分析
例1：
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为______．
解答：
2、实战分析
例2：
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．
若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是_____．
解答：
二、手拉手
1、模型再现
所有的手拉手模型，皆起源于下图．
我们先来看一张示例图片．
国家领导人外出访问时，经常与他国领导人采用这样的握手方式，以示友好．那么上图中，AC，BC，DC，EC即可看作两个人的两双手臂，点C看作两个人握在一起的四只手，是不是很形象？
那么，“两个形状相同的图形，共用同一个顶点”，即可看作“手拉手模型”．更特殊的，符合“共顶点，两对等线段”的图形，也是常考的模型．
这里给出四个常见模型．
2、手拉手模型中的一些结论及证明
以共线，共顶点双等边三角形为例，
在八上阶段可有以下几个结论：
(1)△ADC≌△BEC
(2)∠AOB＝60°
(3)△APC≌BQC
(4)△ECQ≌△DCP
(5)△PCQ为等边三角形
(6)PQ∥AE
(7)OC平分∠AOE
(8)OA＝OB＋OC
(9)OE＝OC＋OD
这里(3)(4)类似，(8)(9)较难，详见2年前文章《八上第六讲 初识手拉手模型》，故选取(2)(3)(7)进行证明!
结论(2)
法1：
由△ADC≌△BEC得，
∠1＝∠2，又∵∠APC＝∠BPO，∴∠AOB＝∠ACB＝60°．
法2：(捆绑旋转)
△ACD绕点C顺时针旋转60°到△BCE，
则AD也绕点C顺时针旋转60°到BE，
其夹角为60°．
结论(3)
由∠1＝∠2，AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ＝60°可证．
结论(7)
过点C作CM⊥AD，CN⊥BE．
2、实战分析
例1：
两个大小不同的等腰直角三角尺如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连接DC．
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；
(2)证明：DC⊥BE．
解答：
2、实战分析
例2：
如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)若∠ACB＝62°，求∠BDC的度数．
解答：
2、实战分析
例3：
如图所示，点O是等边△ABC内一点，∠BOC＝α，∠AOB＝β(α、β均不是锐角)，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
(1)当β＝110°，α＝120°时，∠OAD＝______．
(2)∠OAD与α、β之间的哪一个角度有关系？写出关系式．
(3)当β＝100°，α等于多少时，△ADO是等腰三角形．
解答：
三、等腰三角形存在性
1、模型再现
平面内有一条线段AB，请再找一点C，使△ABC为等腰三角形．
分析：
若以AB为底，则点C为顶角顶点，CA＝CB，所以想到点C在线段AB的中垂线上，作AB的中垂线．若以AB为腰，则点A可为顶角顶点，AC＝AB，想到以点A为圆心，AB长为半径作圆．同理，可以以点B为圆心，BA长为半径构造．由于要形成三角形，三个点必须保证不共线，则去掉点A、点B，及下图中，其余3个白色的点．而中垂线实质上就是画两个圆后将交点相连的直线，因此，先画两个圆，一条中垂线自然出来，即“两圆一线问题”．
2、实战分析
例1：
Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，在直线BC或AC上取一点P，使△PAB为等腰三角形，符合题意的点P的有几个？
解答：6个
2、实战分析
例2：
Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，在直线BC或AC上取一点P，使△PAB为等腰三角形，符合题意的点P的有几个？
解答：7个
2、实战分析
例3：
如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，满足条件的点C有______个．
解答：9个
七上第9讲 《代数式》提升专题1——破解“项”的问题，学会分类讨论
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