七上11讲 解方程易错点分析与含参方程求解套路

写在前面

由于期中考试需要考解一元一次方程，因此，将本章前两节中一些易错的内容做一个整理．主要包括方程的定义，解方程易错点，含参方程求解套路．

一、方程的定义

只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫一元一次方程．

如ax＋b＝0这样的方程，必须满足一次项系数不为0，a≠0，否则就没有未知项了，同时，有些题目会从次数上做文章，保证次数为1即可，若有二次项，三次项，则这些项的系数都为0．

例1

分析：

显然，我们要保证次数为1，且一次项系数不为0．

解答：

变式

分析：

与例1相同，要注意的是，这里要将方程移项变形成ax＋b＝0的形式，不难发现表面看去是二次方程，则二次项系数必为0，且一次项系数不为0．

解答：

二、解方程易错点

一元一次方程的解法都已经讲过，但错误却始终贯穿整个教学过程，分析一下，有以下几个易错点：

(1)移项不变号，或者移动的项不变号，只变不移动的项的号．

(2)去括号时，出现漏乘，尤其是括号内最后一项不乘括号外的系数．

(3)系数化为1时，结果与准确答案是互为倒数，应该两边同除以系数，或者乘上系数的倒数．

当然，需要去分母的方程，错误率就更高了，先选取2例．展示错解，方便改正．

例1

错解1：

同乘15得，x－5(x－1)＝7－3(x＋3)

错解2：

同乘15得，15x－5x－5＝105－3x＋9

分析：

去分母解方程要注意两点，

(1)等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项，尤其是常数．

(2)当分子是多项式时，去分母后分子作为整体，应加括号．

我们在计算时，不要怕麻烦，不妨每一步都认真写好，就不会错了．

正解：

例2

错解：

分析：

对于分母是小数的方程，我们要把它转化为分母是整数的方程，再求解．但是，将分母转化为整数，是利用了分数的基本性质，分数的分子分母同乘一个非零数，分数的值不变，因此，这里的3不能乘10．

正解：

★ 反思★

本题还有更快的做法吗，有！我们的目标是去分母，如果能使分母直接变成1，就可以直接去括号解决了，而0.2×5＝1，0.5×2＝1，因此各项的分子分母分别扩大五倍，两倍，达到直接去分母的目的．

巧解：

例3

分析：

显然，本题按照上述方法是可以做的，只不过较烦，能否有更快的方法呢？我们发现，分母分别为0.3，0.03，倘若每一项都乘0.3，不仅可以达到去分母的目的，而且常数项也变小了．做法更加巧妙．当然，这种做法仅限于学有余力的同学，基础一般的还是按照常规方法吧！

巧解：

三、含参方程求解套路

1、整数解问题

例1

当k取何整数时，关于x的方程2kx＝kx＋2(x＋2)的解为正整数？

分析：

对于含参数的方程，我们一定还是要将方程先解出来，注意，只含有参数的项，移到右边，作为常数，同时含有参数和未知数的项，移到左边，确保合并同类项时，不要漏项，最后转化为以含有参数的代数式为系数的未知项．系数化为1时，两边同除以系数．即x用含参数的代数式来表示．

而要使结果为整数，通常右边的代数式中，分子为整数，那么分母必为分子的因数！

解答：

例2

分析：

本题方法与上题一致，不过需要先去分母，注意两者都是正整数．

解答：

2.同解问题及变式

例1

分析：

同解问题，即两个方程的解相同，观察题目，第一个方程可解，因此可以将x的值解出来，代入到第二个方程中，将其转化为关于参数a的方程，从而求解．

解答：

★ 反思★

本题我们只能这样做吗？

当然不，第二个含参数的方程，依然可解，只需要将用含参数的代数式表示未知数即可，最后利用解相同，建立方程求解．对于两个都含有参数的方程，这是必须掌握的方法．

另解：

本讲思考题