很难想象没有导数的数学和物理学，导数概念背后的直觉及其应用

我们都或多或少地接触过导数。互联网上有很多关于导数的定义。它是一个函数的图形的切线的斜率。或者，它是 "瞬时变化率"。尽管上述定义在技术上并无不妥，但它们并没有抓住导数的本质。

让我们退一步来说。在数学中，我们用数学函数来模拟一个物理量（甚至非物理量）的行为如何取决于另一个量。例如，考虑下面这个函数。

• 两个质量之间的引力

函数F计算了两个质量在距离r处的引力。我们说力F是因变量，而 r，即距离，是自变量。r 的值决定了 F 的值。引力是距离的函数，我们写成F=F(r)。

我们可以想出一个更简单的函数。比方说f(x)=x²。这个函数可以代表一个力或我们选择的任何量。

一个函数是一个依赖于另一个量的量。这种依赖关系的确切性质是由函数的公式描述的。然而，公式中没有描述的是这种依赖关系的“敏感度”。考虑一下我们之前提到的函数F=F(r)。尽管我们有引力的公式，但我们不知道引力对自变量距离的变化有多大的反应。也就是说，如果我们改变了距离，力会改变多少？这就是衍生出导数概念的问题。

函数f=f(x)的导数告诉我们，当我们把参数x改变一些时，函数f(x)的变化有多快。如果 "df "代表函数f(x)的微小变化，"dx "代表自变量 "x "的微小变化，那么导数就是比例因子。

应用

很难想象没有导数的数学和物理学。我们现在将看到这个概念的一些应用，以及为什么使用它不仅是必要的，而且是合乎逻辑的。

• 艾萨克-牛顿和戈特弗里德-威廉-莱布尼茨独立发展了无穷小微积分理论。

数学

导数在数学中的一个直接应用是当我们试图判断一个函数是（单调）增还是减。牢记导数的定义，要想得出这个想法并不难。如果一个函数f(x)的导数是正的，那么这个函数将是单调增的，如果是负的，它就是单调减的。在这篇文章中，我所关心的不是精确的数学，而是背后的直觉。想一下，如果我们把 "x "改变一个很小的量 "dx"，而f(x)改变的量 "df "是正的，这意味着f正在变大。换句话说，这个函数在增加。同样的说法也适用于递减函数。

当我们试图确定一个函数的最小值和最大值时，导数也会很有用。让我们再想一下，在一个函数达到其最大值的地方，导数必须是什么？当然，它必须是零。只有当 "df "为零时，函数才会出现最小值或最大值。

物理学

导数在物理学中也发挥着重要的作用。什么是速度？？我们可以说它是一个物体行进的距离除以到达那里的时间，但这只能告诉我们平均速度。我们感兴趣的是如何定义瞬时速度，即一个物体在每个时间点上的速度和方向。

在物理学中，对速度有一个非常自然的定义。它是一个物体的位置的导数! 它是一个物体的位置在一个微小的时间变化中的微小变化的分数。那么什么是加速度呢？它是速度的导数! 通过这个例子，我们可以看到导数的概念是多么简单而又强大。

• 物理学中的位置、速度和加速度

我们研究一个物理量的变化是如何影响依赖于它的其他量的。这就是为什么在每个物理学领域，从经典力学和电动力学到量子力学和相对论，核心方程都包含导数的原因。以下是一些例子。

• 经典力学中的牛顿第二定律

• 波浪方程

• 量子力学中的薛定谔方程

上述方程是所有物理学中最基本的一些方程。在物理学中，我们很少关注精确的数量。物理学和我们周围的世界一样，都是关于变化的。而只有通过导数的概念，我们才能开始理解这个复杂的世界和它所带来的各种现象。