一次函数的几何性质，以及延伸

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01坐标系中的两个重要公式：

虽然这两个公式好像是高中知识，好像是超纲，但是初中完全可以理解

其实这两个公式在数轴的时候就已经可以介绍了，只不过讲坐标系的时候进行知识的迁移和升华（加上勾股定理）。总之就是易得

02一次函数的高宽比：

高宽比之前说过，就是函数上任意两点的铅锤高度和水平宽度的比值，也有叫纵横比（纵和横貌似只是突出了方向属性，高和宽只突出了长度属性，我觉得更科学应该叫纵高横宽比）

我们发现只有一次函数的高宽比是恒与点的位置无关的，也就是只和k 有关，高宽比就等于k的绝对值(所以k也叫斜率（倾斜程度））

（这一点可以结合实际问题去理解，比如vt图像啊什么的）

下图k变化，高宽比变化。

下图两点位置变化，高宽比不变。

下图自己看变化：

刚也说了高宽比是k的绝对值。也就是高宽比相等时候k不一定相等，也可能互为相反数。如下两图

因为b 的变化就是直线平移（而且可以看做横着平移也可以看做竖着平移，也可以看做任何方向的平移），也就是说平移不改变k(和高宽比)，也就是平行直线k相等。

03开锁法与垂直直线斜率：

什么是开锁法？如下题：怎么做？

当然可以看做B旋转90度，但是这样的做标特点不明显啊？！

之前也讲过垂直策略，构造三垂直即可计算了。

怎么样都可以三垂直都行。

有么有更简单的方法（或者更神奇），回到刚才的旋转90度，如果绕着原点旋转的话，那两个点的做标就特别了。（哪特别？不用我说吧）如下图

这样可以口算做标，其实不需要辅助线了。

A下3左11到原点，B下3左11到（2,5），此时的C显然是（-5,2），平移回去，上3右11得真正的C的做标（6,5）

因为过程分为三步（1拿出来对准位置，2旋转，3放回去），和开锁的三步差不多（也是1拿出来对准位置，2旋转，3放回去），故名开锁法。（我也是看万伟华老师的大作学习的）

如果连出直线会怎么样？发现两垂直直线的高宽比就是互为倒数的 啊啊。

显然k是一正一付，所以也说垂直直线斜率k互为负倒数。

04关于直线对称的点和直线

刚刚是旋转，那么对称呢？（点平移就不说了左减右加，上加下减），如图：已知一条直线和一个点，怎么求它的对称点呢？利用对称的性质即可。

抓住垂直和中点

显然直线是由两个点确定的，如果B的对称点确定也就是AB的对称直线确定了。（不喜欢交点A也可以从新找一点求对称点啊）

而且显然，一条直线关于另一条条直线对称，所得直线的斜率只跟他俩的斜率有关啊？所以可以得到一下斜率关系（记不住就别记了）。也就是知道两个斜率就可以直接求第三个斜率。（不知道公式也可以先求对称点再确定直线啊）

05暴力建系，解析法：

有了关于一次函数的这些知识，以后在做几何问题的时候（计算），可以采用建立坐标系的方法。这种方法的特点是，暴力无脑，不需要多想，但是计算比较麻烦。适用于每个点做标都能求出来的几何题（必须直线型问题，圆是够呛的）。

有的人很鄙视这种方法，觉得它破坏了几何之美，太无脑了。也有人把他当做制胜的法宝。其实自己建立做标系是多数教材都有的内容，只不过大多是建系解决位置实际问题，没有用在几何问题上。其中蕴含的解析几何思维在初中是比较新鲜的，（高中就很常见了）。仁者见仁智者见智，这个方法好与不好，您自己说了算。

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