第19讲 典型例题与练习参考解答：函数的单调性、极值与最值及其应用
本文对应推文内容为：
第19讲：函数的单调性、极值与最值及其应用
【注】相关推文可以直接参见公众号底部菜单“高数线代”中的“高等数学概率其他"选项，在打开的高等数学面板中的各章节推文列表中可以看到所有相关历史推文，或者直接点标题下的”话题：例题练习参考解答“链接.
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习14：求在区间 上的最大值和最小值.
练习16：设由
所确定，求的极值.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：确定以下函数的单调区间.
【参考解答】：(1) 求函数的定义域： .
(2) 确定单调区间的分割点：令 ，有
得.
(3) 列表确定各子区间上导数的符号，确定单调性.
(4) 写出单调区间.单调增加区间：, ；单调减少区间：.
练习2：判定以下函数在区间上的单调性，并通过绘制其图形，考察其最大值与最小值点和对应的函数值.
【参考解答】：令 ，即
得区间的分割点为 , , . 列表得
则函数单调增加区间为：, ；单调减少区间为：, 其图形如下：
考察图形可知其最大值在 取到，且
最小值在 处取到，最小值为 .
练习3：求以下函数的极值.
【参考解答】：函数的定义域为，并且可得
令 ，得 , , . 由于 ，故 为其极小值点，并且极小值为 . 又
故极值判定的第二充分条件失败. 从 表达式可以看到，在的邻域内， 的符号不发生改变，所以不是极值点. 即函数 在定义域内只有一个极值点，即极小值点 ，且其对应的函数值为 .
练习4：设在有直到阶导数，且
证明：(1) 当 为偶数时， 为极值点，且当时， 为极小值点；当 时， 为极大值点；
(2) 当 为奇数时， 不是极值点.
【参考解答】：由题设可知， 在 处的 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为
两端同时除以，得
取的极限，得
(1) 由极限的保号性可知，当 为偶数时， ，如果 ，则在 的一个邻域内 ，故 为极小值， 为极小值点；如果时，则在 的一个邻域内，故 为极大值， 为极大值点.
(2) 当 为奇数时，如果 ，则当 ， ，得 ；当 ， ，得 ，故 不是极值点；同理，当 时， 不是极值点. 即当 为奇数时， 不是极值点.
练习5：求函数的单调区间与极值.
【参考解答】：函数的定义域为，且
令得 ；另外当 时，函数不可导. 于是列表分析如下
故函数单调增加区间为： ， 单调减少区间为：，极大值为，极小值为
练习6：试问 取何值时，函数
在 时取得极值，求出该极值，并判定是极大值还是极小值？
【参考解答】：对函数求一阶、二阶导数，有
令 ，得 . 于是可得
故当 时， 是函数的极大值点，且极大值为
练习7：设 , ，试求 在上的最大值 及 .
【参考解答】：令 ，得
得区间内唯一驻点. 当 时， ，函数单调增加；当 时， ，函数单调递减；故函数在区间 上为单峰函数，且函数在 , 分别右连续与左连续. 故函数在 取到最大值，即
且有重要极限结论，得
练习8：证明如下不等式.
(1) ；
(2) , ；
(3) , .
【参考解答】：(1) 令，则函数在上连续，在 内可导，且
故函数在 内单调递减. 又 在 处左连续，所以 . 即
(2) 构建辅助函数
因此， 在 内严格单调增加．从而当 时，
注意到，当 时， ，所以
(3) 构建辅助函数
则当 时， ，因为 为初等函数， , , 在 上连续. 由函数单调性的判定法知， 在 上严格单调减少，从而当 时，恒有
于是， 在 上严格单调减少，所以，当 时，恒有
同样得到，在 内严格单调减少. 因此，当 时，恒有
于是得
即所需验证的不等式成立.
练习9：证明不等式：
【参考解答】：分两侧分别证明. 先证左侧不等式. 令
则且函数右连续. 由于
故函数 单调递减，故，即
再证右侧不等式. 令
则 且函数右连续. 由于
故函数单调递增，故，即
综上可知原连不等式成立.
【注】：此题曾作为吉林大学、南京师大、南京理工、华南理工、湖北大学、沈阳工大、昆明理工等数学分析课程的考研题.
练习10：判定方程 有几个实数根．
【参考解答】：记 , ，则
令得唯一驻点
因，则为 的唯一极小值点，也是唯一最小值点．当 时， ，当 时， ，因此 在 内递减，在 内递增．这说明它在 至多只有两个实数根．
又 , , ，由闭区间上连续函数的零值定理知，方程在及内分别至少有一个实数根．
综上所述，方程在内恰好有两个实根．
练习11：设函数 在 上一阶可导， ，且 在 内单调递减. 证明：在 内单调递减.
【参考解答】：令，则
又 ，故由拉格朗日中值定理，得
其中. 由于 单调递减，故 . 将以上等式其代入导函数表达式，得
故在 内单调递减.
练习12：设函数 在 上连续， ， 在 存在，
证明： .
【参考解答】：令，则
故由罗尔定理，存在 ，使得
且有题设可知 ，故 在 内单调增加. 于是
当 时， ， 当 时， .
因此， 在取唯一极小值，函数为单谷函数，即 也是函数的最小值. 又 ，从而得 ，故
练习13：证明以下方程无正根.
【参考解答】：构建辅助函数. 当 时，令
则 . 对其求一阶、二阶导数，得
从而可知 在 内单调递减. 由 ，故 ，即 在 内单调递减，又 ，故 ，即方程无正根.
练习14：求在区间 上的最大值和最小值.
【参考解答】：将函数改写为分段函数表达式，有
当 时，
当 时，
因为 ，所以 在 处不可导. 令 ，解得 . 这样在 内的驻点和不可导的点分别为 和. 比较它们及端点的函数值：
知其最大者为最大值，其最小者 为最小值.
练习15：用输油管把离岸12公里的一座油井和沿岸往下20公里处的炼油厂连接起来（如下图），如果水下输油管的铺设成本为每公里50万元，陆地输油管的铺设成本为每公里30万元. 问应如何铺设水下和陆地输油管，使总的连接费用最小？
【参考解答】：设 ，那么 ，
从而总的连接费用为
令，解得 ；比较 及端点处的函数值：
可知，最小的连接成本为1080万元，最优的连接方案为：从炼油厂沿岸在陆地上铺设11公里到点，然后在水下铺设15公里的管道.
练习16：设由
所确定，求的极值.
【参考解答】：方程两边对 求导，得
令，得 , . 将其代入所给方程，得
将两点的值代入 ，得
所以， 为极大值， 为极小值.