抽屉原理（一）

抽屉原理是奥数中非常重要的一个知识点。这个就和小学其他数学区分开来了，属于纯纯的奥数的内容，除非以后就是一路打算搞竞赛的，如果是为了小升初的，那么小学毕业以后就可以扔掉了。

这部分内容家长如果要给孩子讲明白是有一定困难的，所以更需要细心体会哟~

所谓抽屉原理，又叫鸽笼原理，主要由以下三条所组成：

原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

原理2 ：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。

原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

想要深刻理解这三条原理，最好的办法就是自己去证一证。

没错，数学的证明题分成两类：这也要证啊和这也能证啊？

抽屉原理算不错的了，没看见过让你求证0只有一个的习题吧？反正当年我是觉得这也太扯淡了。。。

事实上，这三条原理还真的是可以证明的。首先来看原理1：

我们理论上可以把所有放置的情况给罗列出来：注意到n虽然是任意的自然数，不管怎么大，总还是有限的一个数，但是这显然不是什么好的证明办法。因为情况实在是太多了——而且这个结论看起来真的很容易啊。

于是我们有一种想法，能不能从它的反面出发，即：没有一个抽屉的东西多于一件。

注意学好语文的重要性：不少于两件的反面究竟是不多于一件还是两件？

这是第一关。当你理清了确实是不多于一件之后，我们再往下看。

因为有n个抽屉，每个抽屉不多于一件，所以总数一定是小于等于n，不可能等于一个比n大的自然数，所以矛盾！

这就是传说中的反证法。

我们可以利用反证法把后面两条性质证明一下，留作给家长的练习。

因为这个内容课堂上不讲，所以我们的起步就会低一些。

首先来看例子：学校周末组织4个班的同学去春游，有三个地方可以选择：博物馆、天一阁和野生动物园，试说明，一定至少有两个班去同一个地点。

这时候，我们要做的是引导孩子，让他们把什么看做抽屉什么看做物品，然后套用抽屉原理。

事实上，这也是所有用抽屉原理题目的通用办法：即构造出抽屉和物品。

说说总是简单的，之前已经讲过，构造法是数学中最具有创造力和技巧性的方法，几乎只有0和1两种状态——要么构造出来要么构造不出来。

当然，在这个题目中，抽屉和物品是很容易看出来的。我们可以把班级数看成物品，把地点看成是抽屉，我们很容易得到结论：4件物品放进三个抽屉，所以至少有一个抽屉要放两件以上的物品。

一声轻叹：要是所有的抽屉原理的题目都是如此这般该多好啊。

不急，我们可以再来看一个简单的例子：

1830个人中，至少有多少人生日是在同一天？

很显然，1830就是物品的数目，那么抽屉数是多少呢？一年365天嘛，所有1830/365等于5余5，所以至少有6个人同一天生日！

2月29日生的不服！

这就是不够严密啊家长朋友们！数学题处处是坑啊！一定要从小养成习惯啊！

所以1830/366=5，至少有5个人同一天生日才是正解！