攻克庞加莱猜想的数学隐士——佩雷尔曼

2002年11月在数学预印本网站上，佩雷尔曼贴出了仅仅只有三页非常简洁的论文，目标直指百年数学难题庞加莱猜想（实际上，他描述的是更一般的瑟斯顿几何化猜想，庞加莱猜想是它的一个特例）。这个消息不胫而走，随即引发了数学界的轩然大波，更多的人认为这是一个“恶作剧”，就像曾经有很多人宣称自己证明了哥特巴赫猜想一样。但四个月后，佩雷尔曼又上传了一份更加详细的论文，补充了很多证明的细节，并以邮件的形式和少数数学界内他信得过的人讨论交流。第二年，佩雷尔曼再上传了一篇论文，给出了更多相关细节。这三篇论文的正确与否直接关系着一个百年数学难题的命运。

实际上，佩雷尔曼为公众所知，更多的原因在于他拒绝了数学最高奖菲尔兹奖与千禧百万美元数学大奖，至于他到底做了哪些贡献，是一个什么样的数学家，一般人还是不太了解。在他发布论文以后，了解佩雷尔曼的人都对其正确性持乐观态度，因为在此之前，他已经是一位卓有成就，天赋异禀且严谨谦虚的数学家，如果没有把握，他是不会轻易发布这样的论文。

那么，佩雷尔曼到底是一位什么样的数学家？与庞加莱猜想又有怎样的渊源？

佩雷尔曼

佩雷尔曼（全名为Grigori Yakovlevich Perelman ，俄语为: Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н），1966年6月13日出生于圣彼得堡（也即苏联时期的列宁格勒），是著名的俄罗斯籍犹太裔数学家，他的父亲是电路工程师而母亲则为当地小学数学教师。佩雷尔曼从小就对玩乐没什么兴趣，宁愿呆在家看书或者下棋。母亲发现他的数学天才之后，送他去了一个数学培训班，之后又让他去了以数学和物理见长的239中学。仅仅三个月之后，佩雷尔曼代表苏联在国际中学生数学奥林匹克上获得满分金牌，而且据传，佩雷尔曼还在另一个更难的几何竞赛中拿下赛史上第一个满分。在同时代的人中，佩雷尔曼的数学天才几乎找不出对手。

佩雷尔曼这样非凡的天才立即引来了美国顶级名校耶鲁大学的极大兴趣，并以巨额奖学金吸引他来就学，但佩雷尔曼毫不犹豫地拒绝了。佩雷尔曼选择了免试进入圣彼得堡大学继续学习数学，并以微分几何作为他的研究方向。据大学同学及老师回忆，佩雷尔曼像外星人一样聪明，除了数学什么都不谈，他精通所有学科，除了体育。他也从来不在乎自己的形象，总是随心所欲，但佩雷尔曼却是一个乐于助人，富有爱心的年轻人，时常有同学看见他帮助别人。

本科毕业后，佩雷尔曼进入圣彼得堡的斯捷克洛夫数学研究所读研究生，师从著名数学家亚历山德罗夫，主要研究方向是黎曼几何中的比较几何，并获得数学博士学位，之后便留所工作。

说到这里要简单的提一下斯捷克洛夫数学研究所（St.Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics of Russian Academy of Sciences）的情况。斯捷克洛夫数学研究所建于20世纪20年代初的圣彼得堡，1934年主体部分迁到了莫斯科，只在圣彼得堡保留了分部。这里一直延续着切比雪夫创立的圣彼得堡数学学派的优秀传统，而且庆幸的是没有受到诸如伪遗传学教父李森科等人的破坏。实际上，这样优良的数学传统对佩雷尔曼有着深远的影响。到了世纪之交，俄罗斯经济面临困境，数学研究所差不多已经“饥寒交迫”，但仍有不少人坚守在这座老房子里，甚至据传，他们用绳子将摇摇欲坠的阳台固定住，以防止垮塌。

俄罗斯的数学在苏联解体之后仍然得以繁荣，正是因为还有很多这样坚守的人，佩雷尔曼就是其中之一。

1991年苏联的解体不仅是国家命运的分水岭，也成了佩雷尔曼人生的转折点。大批犹太人选择迁居以色列，其中便有佩雷尔曼的父亲和妹妹，但他却选择和母亲坚守在圣彼得堡。家庭的割裂成为佩雷尔曼变得孤僻的极大诱因。从此他的生活里只剩下数学和母亲。

差不多也是这个时候，佩雷尔曼在格罗莫夫（Gromov，顶级几何学家，沃尔夫数学家得主）的推荐下，来到美国访问研究，地点包括纽约大学柯朗研究所和加州伯克利等。这一时期佩雷尔曼的研究领域仍然集中在比较几何上，例如具有Ricci曲率具有下界的流形。

1994年，佩雷尔曼完成了一生中第一项重大工作，他证明了黎曼几何中重要的灵魂猜想。在一次学术会议上，佩雷尔曼几乎是立即获得证明灵感，之后便以非常简洁的方法解决了这个困扰数学界多年的难题。也是在这一年，佩雷尔曼受邀在国际数学家大会上做了报告，对于一个年轻数学家而言，这已经是极大的荣誉与肯定。

普林斯顿和斯坦福立马向他抛出橄榄枝，邀请佩雷尔曼前来任职。但出乎意料又在情理之中，佩雷尔曼在这个时候选择回到斯杰克洛夫数学研究所，他难以割舍自己的母亲和祖国。而且直到这时，佩雷尔曼并没有表现出对黎曼几何之外的数学的兴趣。

1996年，由于他佩雷尔曼在黎曼几何上的出色工作，欧洲数学会授予他“杰出数学家”奖。佩雷尔曼拒绝了，他已经对奖金和声誉毫无兴趣。之后的几年里，佩雷尔曼在数学界中如同人间蒸发一般，就连数学所的同事也不清楚他究竟在做些什么。但佩雷尔曼仍然保持了他的正直与诚实，他对所内挪用侵吞经费的行为深恶痛绝，也加深了他对学术界的厌恶。

直到2002年相继贴出论文，佩雷尔曼才重回公众视线。之后他受邀前往美国讲解他的论文，但几乎没人能够立即理解他的工作，包括Ricci流理论的创造者哈密尔顿（Richard Hamilton），而Ricci流是佩雷尔曼论文中最主要的数学工具。三个专业的数学团队独立对佩雷尔曼的论文差不多解读了两年才确定证明的正确性。而在此之后，佩雷尔曼再度消失，拒绝任何采访或与外界的接触。

庞加莱猜想

接下来我们需要简单地介绍一下庞加莱猜想的相关情况。

1904年，庞加莱提出一个问题：

任何一个单连通的且闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

用拓扑学的语言来说，也就是：

闭的三维流形如果同伦于三维球面，那么它们也同胚。

事实上庞加莱猜想还有n维的推广形式，但必须附加上一些更严格的条件。那庞加莱猜想到底在说什么呢？形象一点来说，例如n=2，如果一个闭曲面（比如球面，椭球面这样的）上的闭合曲线都可以像橡皮筋一样连续收缩到一个点，那么这个闭曲面实际上和球面是一回事，也即拓扑上的同胚。

而一个显然不符合条件的反例就是环面，它上面的闭圆就不能连续收缩到一个点，因为中间有一个“洞”。

如果庞加莱猜想正确的话，那么它的一个显著意义就是“宇宙大爆炸”理论有了强有力的数学基础。大爆炸理论正是猜想宇宙由一个点爆炸膨胀而来，这与庞加莱猜想所描述的过程是一样的。

早期对庞加莱猜想的研究一直没有实质性的进展，直到1961年斯梅尔和其他一些数学家解决了四维以上的庞加莱猜想，一时震惊整个数学界。之后的1982年，美国数学家弗里德曼和英国数学家唐纳森证明了四维的情形。数学界为之欢呼雀跃，认为庞加莱猜想的完全证明已经近在咫尺。不幸的是这些方法都不能用在三维的情形，三维空间此时表现出了和高维空间迥然不同的特性。这是否说明三维空间才是最本质的？

结果这一沉寂就是20年，直到佩雷尔曼的横空出世。前面我们已经说过，佩雷尔曼的证明建立在两个重要的东西上，一个是瑟斯顿几何化猜想，还有一个是哈密尔顿提出的Ricci流理论。瑟斯顿和哈密尔顿都在这个问题上取得过重大进展，但始终难以突破最后一步。哈密尔顿遇到的困难是在他的方法中会出现趋于无穷大的奇点，使得证明方法无法在这一点奏效，因而无法继续往下证明。但佩雷尔曼不这么认为，他以自己强大的数学洞察力宣告：奇点不是问题，我可以解决！这也就有了后来的故事。

拒绝领奖

佩雷尔曼思考的过程到底是怎样的我们无法得知，但肯定不会是容易的，凭借这一数学史最重大的成就之一，我们可以确信，佩雷尔曼值得上任何数学奖励。2006年，国际数学家大会授予他数学最高奖菲尔兹奖。尽管佩雷尔曼兑现了自己不会领奖的承诺，但大会仍执意授予他这一奖项，最后只能对着佩雷尔曼的照片给他颁奖。同样地，他也拒绝了百万美元奖金的千禧数学大奖。起初克雷数学研究所规定数学论文必须发表在数学期刊上才能获奖，但佩雷尔曼显然没兴趣。后来克雷数学研究所再也坐不住了，也不管什么规定了，跑到佩雷尔曼家将获奖通知直接贴在了门上，于是佩雷尔曼生气地搬了家。

无数的记者乔装打扮试图接近佩雷尔曼进行采访拍照，对此深恶痛绝的佩雷尔曼干脆跑得更远，不让人们找到。佩雷尔曼曾经说过，我对金钱和名誉早已没有任何兴趣，我宁愿到圣彼得堡的森林里采蘑菇！

数学隐士

无疑，佩雷尔曼的内心是孤独的，不被理解的。父子兄妹的分离早已使他黯然失色，曲高和寡的天才又使他和这个世界显得格格不入。对数学界他也失望透顶了，他曾表示，汉密尔顿在解决庞加莱猜想问题上的贡献比自己大，奖应该也要颁发给他，但“急功近利”的学术界显然没有顺从他的意愿。让佩雷尔曼更为恼火的是，某位非常著名的数学家竭力试图削弱他在这个问题上的贡献而抬高自己学生的地位。数学最后也使他失望了，唯一剩下的就是守在自己母亲身边了。

我们无从得知佩雷尔曼的近况，更不想打扰他宁静的生活，在这样一个喧嚣繁杂的世界，也许当一个隐士在他看来是最好的选择。但无论如何，我们可以肯定的是，佩雷尔曼是真正伟大的数学家，值得我们每一个人尊敬。